C++で正三角形に内接する円に内接する正方形の面積を求める方法

本記事では、正三角形に内接する円、さらにその円に内接する正方形の面積を求める方法を解説します。

使用する記号の定義は以下の通りです。

• 正方形の一辺の長さ：a
• 円の半径：r
• 正三角形の一辺の長さ：A

面積の導出手順

1. 円の半径を求める

正三角形に内接する円の半径は、その三角形の内接円の半径（内半径）と一致します。正三角形の内半径は次の式で表されます。

r = A / (2√3)

2. 正方形の対角線を求める

正方形が円に内接している場合、正方形の対角線は円の直径と一致します。したがって、対角線 d は次のように求められます。

d = 2r = 2 × A / (2√3) = A / √3

3. 正方形の面積を求める

対角線の長さが分かれば、正方形の面積は次の式で計算できます。

面積 = d² / 2 = (A / √3)² / 2 = A² / 6

つまり、求める面積は正三角形の一辺の長さの2乗を6で割った値になります。

C++による実装例

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

float area(float A) { // A は正三角形の一辺の長さ
    if (A < 0) // 負の値は無効
        return -1;
    float d = A / sqrt(3); // 対角線の長さ
    float area = 0.5 * d * d; // 面積 = d² / 2
    return area;
}

int main() {
    float side = 10;
    cout << "Area is: " << area(side);
}

実行結果

Area is: 16.6667

計算結果の検証

一辺 A = 10 の正三角形の場合、理論値は A²/6 = 100/6 ≒ 16.6667 となり、プログラムの出力と一致します。負の値が入力された場合は無効な入力として -1 を返すため、堅牢性も確保されています。