C言語で求める!正三角形に内接する最大の正方形の一辺の長さ

ある図形が別の図形や立体の中に内接するとは、その図形が相手の内部に隙間なくすっぽりと収まっている状態を指します。つまり、「正方形が三角形に内接する」という表現は、「三角形が正方形に外接する」という表現と完全に同じ意味になります。

本記事では、一辺 a の正三角形に内接できる最大の正方形の一辺の長さを、C言語で求める方法を解説します。

まずは具体例から見てみましょう。

入力: 5
出力: 2.32

頂点 A を上、底辺 BC を下にとった正三角形 ABC を考えます。内接する最大の正方形では、その上辺 DE(D は AB 上、E は AC 上)が底辺 BC と平行になります。

数学的な導出手順

正方形の一辺の長さを x とします。

このとき、AH は DE に対して垂直です。

DE は BC と平行であるため、角 AED = 角 ACB = 60° が成り立ちます。

三角形 EFC において、以下の関係が得られます。

  ⇒ sin60° = x / EC
  ⇒ √3 / 2 = x / EC
  ⇒ EC = 2x / √3

次に、三角形 AHE において、

  ⇒ cos60° = x / (2AE)
  ⇒ 1/2 = x / (2AE)
  ⇒ AE = x

したがって、正三角形の一辺 AC の長さは「2x/√3 + x」で表されます。ここで、

a = 2x/√3 + x

この式を x について整理すると、

x = a / (1 + 2/√3) ≈ 0.464a

つまり、一辺 a の正三角形に内接できる最大の正方形の一辺は、もとの三角形の一辺の約 0.464 倍になることがわかります。

C言語での実装例

この公式を使えば、プログラムは非常にシンプルになります。

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main() {
    float a = 5;
    float area = 0.464 * a;
    printf("The area is : %f", area);
    return 0;
}

実行結果

The area is : 2.320000

一辺 5 の正三角形の場合、内接できる最大の正方形の一辺は約 2.32 と計算されました。定数 0.464 を掛けるだけで答えが求まるため、任意の入力値にも即座に対応できます。