楕円に内接する長方形の中に内接する三角形の面積をC++で求める方法

本記事では、楕円に内接する長方形、さらにその長方形に内接する三角形の面積を求める方法を解説します。楕円の長半径・短半径の半分をそれぞれ a・b とし、内接する長方形の縦・横を l・h とします。

数学的な考え方

楕円 x²/a² + y²/b² = 1 に内接する長方形のうち、面積が最大になるのは、各頂点が座標 (±a/√2, ±b/√2) に位置するときです。このとき長方形の面積は次の式で表されます。

長方形の面積 = 2ab

続いて、この長方形に内接する三角形について考えます。長方形の3つの頂点を結んでできる三角形の面積は、長方形全体のちょうど半分に相当します。したがって、次のようになります。

三角形の面積 = (1/2) × 2ab = ab

つまり、楕円の半軸 a と b が分かれば、複雑な計算を行わなくても三角形の面積を「a × b」で直接求められることが分かります。

C++による実装例

以下のコードでは、半軸 a と b を受け取り、三角形の面積を返す関数を実装しています。入力値が負の場合は無効として -1 を返す処理も加えています。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

float area(float a, float b) {
    if (a < 0 || b < 0) // 負の値は無効な入力
        return -1;
    float area = a * b;
    return area;
}

int main() {
    float a = 5, b = 2;
    cout << "Area is: " << area(a, b);
}

出力結果

Area is: 10

コードの解説

関数 area() では、まず引数 a と b が負でないかを判定します。負の値は幾何学的に意味を持たないため、エラー値として -1 を返します。有効な値が渡された場合は、先ほど導出した公式に従い a * b を計算して結果を返します。

サンプルプログラムでは a = 5、b = 2 を与えているため、三角形の面積は 5 × 2 = 10 となり、期待どおりの出力が得られます。

このように、図形の幾何学的な性質を事前に数式化しておくことで、プログラム側の処理を非常にシンプルにできます。時間計算量は O(1)、空間計算量も O(1) であり、非常に効率的なアルゴリズムです。