正三角形に内接する円の面積の求め方|公式と導出方法を解説

一辺の長さが a の正三角形に内接する円(内接円)の面積は、次の数学的公式を使って求めることができます。

円の面積 = πa²/12

ここでは、この公式がどのように導かれるのかを順を追って解説します。

公式の導出方法

三角形に内接する円の半径は、次の一般的な公式から求められます。

内接円の半径 = 三角形の面積 ÷ 三角形の半周長

一辺の長さが a の正三角形の場合、それぞれの値は以下の通りです。

• 正三角形の面積 = (√3)a²/4
• 正三角形の半周長 = 3a/2

これらを公式に代入すると、内接円の半径 r は次のように計算できます。

r = [(√3)a²/4] ÷ (3a/2) = a/(2√3)

半径が求まったので、円の面積の公式 πr² に代入しましょう。

円の面積 = πr² = π × [a/(2√3)]² = πa²/12

このように、一辺 a の正三角形に内接する円の面積は πa²/12 と表すことができます。

サンプルコード(C言語)

実際にプログラムで計算してみましょう。以下は、一辺 5 の正三角形に内接する円の面積を求めるC言語のコード例です。

#include <stdio.h>
int main(void) {
    int a = 5;
    float pie = 3.14;
    float area = (float)((pie*a*a)/12);
    printf("the area of circle inscribed in the triangle of side %d is %f",a,area);
    return 0;
}

実行結果

the area of circle inscribed in the triangle of side 5 is 6.541667

実行結果より、一辺 5 の正三角形に内接する円の面積は約 6.54 であることが確認できました。この公式を使えば、一辺の長さが分かっている正三角形であれば、どのようなサイズでも内接円の面積を簡単に求めることができます。