C++で級数 1/1 + (1+2)/(1×2) + (1+2+3)/(1×2×3) + … のn項までの合計を求める方法

本記事では、整数 n が与えられたとき、次の級数の n 項までの合計を求めるプログラムを C++ で作成します。

級数： 1/1 + (1+2)/(1×2) + (1+2+3)/(1×2×3) + … （n 項まで）

この級数の第 k 項は「1からkまでの総和（sum）」を「1からkまでの総乗（積：prod）」で割った値になっています。

例で問題を理解しよう

入力

n = 3

出力

3.5

説明 −

(1/1) + (1+2)/(1×2) + (1+2+3)/(1×2×3) = 1 + 1.5 + 1 = 3.5

解法のアプローチ

この問題に対するシンプルな解法は、i = 1 から n までループ処理を行うことです。各反復ごとに、i までの総和と総乗を更新し、「総和 ÷ 総乗」の値を結果に加算していきます。

アルゴリズム

result = 0.0、sum = 0、prod = 1 で初期化
Step 1: i = 1 から n まで繰り返し、以下を実行する :
    Step 1.1: sum += i 、prod *= i として値を更新する
    Step 1.2: result += (double)sum / prod として結果を更新する
Step 2: result を出力する。

C++による実装例

上記の解法の動作を示すプログラムは以下の通りです。

#include <iostream>
using namespace std;
double calcSeriesSum(int n) {
    double result = 0.0 ;
    int sum = 0, prod = 1;
    for (int i = 1 ; i <= n ; i++) {
        sum += i;
        prod *= i;
        result += ((double)sum / prod);
    }
    return result;
}
int main() {
    int n = 12;
    cout<<"級数 1/1 + (1+2)/(1*2) + (1+2+3)/(1*2*3) + ... の "<<n<<" 項までの合計は " <<calcSeriesSum(n) ;
    return 0;
}

出力

級数 1/1 + (1+2)/(1*2) + (1+2+3)/(1*2*3) + ... の 12 項までの合計は 4.07742

計算量について

この解法では、ループが n 回実行され、各反復内の処理は定数時間で完了するため、時間計算量は O(n) となります。また、使用している変数は result・sum・prod のみであるため、空間計算量は O(1) です。総和と総乗を毎回ゼロから再計算せず、前回の値を再利用することで効率的に計算できる点がポイントです。