【C++解説】級数 √3 + √12 + √27 + … の最初のN項までの総和を求める方法

この問題では、整数値 N が与えられ、級数「√3 + √12 + √27 + …」の最初の n 項までの総和を求めることが課題となります。

この級数は次のように表されます。

√3 + √12 + √27 + √48 + …

つまり、これは平方根の数列です。各項は 3 の倍数の平方根になっています。

問題を理解するための例

入力 : N = 3
出力 : 10.3922

説明：

√3 + √12 + √27 = 1.7320 + 3.4641 + 5.1961 = 10.3922

解法のアプローチ

この問題を効率的に解くには、まず級数の一般項を見つけ、その上で n 項までの総和を公式から計算します。公式を使えば計算量は O(1) に抑えられるため、非常に高速です。

級数は次の通りです。

√3 + √12 + √27 + √48 + …

ここで、すべての項に √3 が共通して含まれていることに注目しましょう。√3 を括り出すと、

⇒ √3 × (√1 + √4 + √9 + √16 + …)

⇒ √3 × (1 + 2 + 3 + 4 + …)

したがって、この級数の一般項は次のように表せます。

T_n = n × √3

この一般項を利用すると、n 項までの総和は次のように求められます。

Sum = Σ (n × √3) = √3 × Σ n

自然数の和の公式 Σ n = n(n+1)/2 を適用すると、

Sum = √3 × n × (n + 1) / 2

この公式により、ループ処理を行わずに一発で答えを計算できます。

C++での実装例

以下は、この解法の動作を示すプログラムです。

#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;

float calcSumNTerms(float n) {
    return ((sqrt(3)) * ((n*(n+1))/2));
}

int main() {
    float n = 25;
    cout << "最初のn項までの級数の総和は " << calcSumNTerms(n);
    return 0;
}

出力結果

最初のn項までの級数の総和は 562.917

まとめ

このように、級数の各項を因数分解して一般項を導き出すことで、O(1) の計算量で総和を求めることができます。単純に各項を順番に足し合わせる O(n) のアプローチと比べ、N が大きい場合でも瞬時に計算できるのが大きなメリットです。数学的な変形を活かした効率的なアルゴリズム設計の良い例と言えるでしょう。