C++で級数「1−2+3−4+5−6+7…」の合計を求める方法

この問題では、整数値 N が与えられ、級数「1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 …」の第 n 項までの合計を求めることが課題となります。

対象となる級数は次のとおりです。

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + 9 − 10 …

問題の例

具体例を使って問題を確認してみましょう。

入力 : N = 4
出力 : -2

説明：

1 − 2 + 3 − 4 = -2

解法のアプローチ

この問題を解くシンプルな方法は、級数の一般項（規則性）を見つけ出し、n 項までの合計を数式で表すことです。公式を使って合計を計算できれば、計算時間は O(1) にまで短縮できます。

まず、いくつかの値に対する級数の合計を求めて、規則性を観察してみましょう。

• sum(1) = 1
• sum(2) = 1 − 2 = −1
• sum(3) = 1 − 2 + 3 = 2
• sum(4) = 1 − 2 + 3 − 4 = −2
• sum(5) = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3
• sum(6) = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3
• sum(7) = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 = 4
• sum(8) = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 = −4

この結果から、合計は次の式で表せることがわかります。

• n が奇数の場合：Sum = (n + 1) / 2
• n が偶数の場合：Sum = −(n / 2)

実装例

この解法の動作を示す C++ プログラムは以下のとおりです。

#include<iostream>
using namespace std;
int calcSumNTerms(int n) {
    if(n%2 == 0)
        return ((-1)*(n/2));
    return ((n+1)/2);
}
int main() {
    int n = 156;
    cout<<"第 n 項までの級数の合計は "<<calcSumNTerms(n); 
    return 0;
}

出力結果

第 n 項までの級数の合計は -78

このように、偶奇の判定だけで O(1) の定数時間で合計を求められるため、ループで一項ずつ加算する方法（O(n)）よりもはるかに効率的です。大きな n が与えられた場合でも高速に動作する点が、この数式アプローチの大きな利点といえます。