C++で級数 1² − 2² + 3² − 4² … の第n項までの合計を求める方法

この問題では、整数値 N が与えられ、「1² − 2² + 3² − 4² …」という符号が交互に入れ替わる平方数の級数について、第 n 項までの合計を求めることが課題となります。

問題の確認

まず、具体例を見てみましょう。

入力：N = 3
出力：6

説明：
1² − 2² + 3² = 1 − 4 + 9 = 6

解法1：ループを使うシンプルな方法

最も直感的な解き方は、ループ処理を使う方法です。反復変数 i を 1 から n まで回しながら、次のように処理します。

• i が奇数の場合 → 合計（sum）に i² を加算する
• i が偶数の場合 → 合計（sum）から i² を減算する

ループ終了後の sum の値が、求める級数の合計になります。

アルゴリズム

初期化：sum = 0

1. ステップ1：i を 1 から n までループする
   • ステップ1.1：i が奇数なら（i % 2 != 0）→ sum += i²
   • ステップ1.2：i が偶数なら（i % 2 == 0）→ sum -= i²
2. ステップ2：sum を返す

C++ 実装例

上記の解法を実装したプログラムがこちらです。

#include <iostream>
using namespace std;

int findSumOfSeries(int n) {
   int sum = 0;
   for (int i = 1; i <= n; i++) {
      if (i % 2 == 0)
         sum -= (i * i);
      else
         sum += (i * i);
   }
   return sum;
}

int main(void) {
   int n = 5;
   cout << "級数の合計は " << findSumOfSeries(n);
   return 0;
}

実行結果

級数の合計は 15

この方法の計算量は O(n) です。n が大きくなるほど処理時間が増えるため、次に紹介する数式を使った方法が有効です。

解法2：数式を使った効率的な方法

級数の性質を利用して式を変形すると、ループなしで O(1) で答えを求められます。n の偶奇によって導かれる式が異なります。

n が偶数の場合

sum = 1² − 2² + 3² − 4² + … + (n−1)² − n²

隣り合う2項ずつペアにして因数分解すると、

sum = (1−2)(1+2) + (3−4)(3+4) + … + {(n−1)−n}・{(n−1)+n}

sum = (−1)×3 + (−1)×7 + … + (−1)×(2n−1)

sum = (−1) × (1 + 2 + 3 + … + n)

sum = − n(n+1)/2

n が奇数の場合

sum = 1² − 2² + … + (n−2)² − (n−1)² + n²

最後の n² を除いた部分は項数が n−1（偶数個）なので、偶数の場合と同じ要領で変形できます。

sum = { − (n−1)・n / 2 } + n²

sum = (−n² + n + 2n²) / 2

sum = (n² + n) / 2 = n(n+1)/2

つまり、n が偶数なら「−n(n+1)/2」、n が奇数なら「n(n+1)/2」というシンプルな公式で答えが求まります。

C++ 実装例

#include <iostream>
using namespace std;

int findSumOfSeries(int n) {
   int sum = 0;
   if (n % 2 == 0) {
      sum = (-1) * (n * (n + 1)) / 2;
   } else {
      sum = (n * (n + 1)) / 2;
   }
   return sum;
}

int main(void) {
   int n = 5;
   cout << "級数の合計は " << findSumOfSeries(n);
   return 0;
}

実行結果

級数の合計は 15

まとめ

級数「1² − 2² + 3² − 4² …」の第 n 項までの合計は、ループで順番に加減算する方法と、n の偶奇に応じた公式を使う方法の2通りで求められます。計算効率を重視する場合は、O(1) で計算できる公式を使う方法がおすすめです。