C言語で数列5、12、23、38…の最初のN項の合計を求める方法

数列「5、12、23、38…」の最初のN項の合計を求めるには、まずこの数列の特徴を分析し、既知の数列であるか、あるいは複数の数列を組み合わせたものかを見極める必要があります。本記事では、任意の値 n に対してこの数列の合計を効率的に求める方法を解説します。

問題の確認

与えられた数列は「5、12、23、38…」です。任意の n に対して、最初の n 項の合計を求めます。

例

n = 3 の場合
合計 = 40 （5 + 12 + 23）

数列の分析

与えられた数列を詳しく観察すると、隣接する項同士の差は次のようになっています。

• 12 − 5 = 7
• 23 − 12 = 11
• 38 − 23 = 15

差が「7、11、15」と一定の数（4）ずつ増加しており、つまり項間の差が等差数列をなしています。このような数列は二次数列（quadratic series）と呼ばれます。

実際、この数列の一般項は a(n) = 2n² + n + 2 で表されます。検証してみると、a(1) = 5、a(2) = 12、a(3) = 23、a(4) = 38 となり、確かに元の数列と一致します。

合計を求める公式

二次数列であることが分かったため、ループで一つずつ足し合わせる代わりに、公式を使って直接合計を計算できます。一般項を n 項まで総和すると、次の式になります。

Sum = (2*(n*(n+1)*(2*n+1))/6) + n*(n+1)/2 + 2*n

この公式を使えば、計算量は O(1) となり、n が大きくなっても高速に合計を求められます。

C言語での実装例

#include <stdio.h>
int main() {
   int n = 6;
   int sum = (2*(n*(n+1)*(2*n+1)/6)+(n*(n+1)/2)+(2*n));
   printf("the sum of series till %d is %d", n,sum);
   return 0;
}

出力結果

the sum of series till 6 is 215

このように、数列の構造を分析して二次数列と見抜くことができれば、単純な繰り返し処理ではなく数学的な公式を用いることで、より効率的に合計を求めることができます。