シリーズ1+22 + 333 + 4444+...の合計をC++でn個まで検索

この問題では、整数値Nが与えられます。私たちのタスクはシリーズ1 + 22 + 333 + 4444 +55555...最大n項の合計を見つけることです 。

問題を理解するために例を見てみましょう

Input : N = 4
Output : 4800

説明 −

1 + 22 + 333 + 4444 = 4800

ソリューションアプローチ

この問題を解決する簡単な方法は、級数の一般項を見つけてから、n項までの合計を見つけることです。また、数式を使用して合計を計算すると、O（1）までの時間が短縮されます。

シリーズは、

1 + 22 + 333 + 4444 + 55555 ...

級数の合計は、次のように書き直すことができます。

$ \ mathrm {Sum} \：=\：1 ^ *（\ frac {10 ^ 1-1} {9}）\：+ \：2 ^ *（\ frac {10 ^ 1-1} {9}） \：+ \：3 ^ *（\ frac {10 ^ 1-1} {9}）\ dotsm $

共通の1/9を取ると、合計は次のようになります。

$ \ mathrm {Sum} \：=\：1/9 ^ * \ lbrace（1 ^ * 10 ^ 1-1）\：+ \：（2 ^ * 10 ^ 2-1）\：+ \ :( 3 ^ * 10 ^ 3-1）\：+ \：\ dotsm（n ^ * 10 ^ 1-n）\ rbrace $

$ \ mathrm {Sum} \：=\：1/9 ^ {*} \ lbrace1 ^ * 10 ^ 1 \：+ \：2 ^ * 10 ^ 2 \：+ \：3 ^ * 10 ^ 3 \：+ \：\ dotsm + n ^ * 10 ^ n \：-\ :( 1 + 2 + 3 + \ dotsm \：n）\ rbrace $

$ \ mathrm {Sum} \：=\：1/9 ^ {*} \ lbrace（1 ^ * 10 ^ 1 \：+ \：2 ^ * 10 ^ 2 \：+ \：3 ^ * 10 ^ 3 \ ：+ \：\ dotsm + n ^ * 10 ^ n）\：-\：1/2（n ^ *（n + 1））\ rbrace $

用語（1 * 10 ¹ + 2 * 10 ² + 3 * 10 ³ + ... + n ^* 10 ⁿ ）シリーズの一般式を微分することで解くことができます

1 + x + x ² + x ³ + ... n ^* x ⁿ

したがって、用語（1 ^* 10 ¹ + 2 ^* 10 ² + 3 ^* 10 ³ + ... + n ^* 10 ⁿ ）は、

$ \ frac {n ^ *（10 ^ {n + 2}）-（n + 1）*（10 ^ {n + 1}）+ 10} {81} $

合計式に戻す

$ \ mathrm {Sum} \：=\：1/9 ^ * \ lbrace（\ frac {n ^ *（10 ^ {n + 2}）-（n + 1）*（10 ^ {n + 1}） +10）} {81} \：-\：1/2（n ^ *（n + 1））\ rbrace $

$ \ mathrm {Sum} \：=\：\ frac {1} {1458} * \ lbrace2 ^ *（n *（10 ^ {n + 2}）-（n + 1）*（10 ^ {n + 1 }）+ 10）-81 ^ * n ^ *（n + 1）\ rbrace $

$ \ mathrm {Sum} \：=\：\ frac {1} {1458} * \ lbrace2 ^ *（n *（10 ^ {n + 2}）-（n + 1）*（10 ^ {n + 1 }）+ 10）-81 ^ * n ^ *（n + 1）\ rbrace $

$ \ mathrm {Sum} \：=\：\ frac {1} {1458} * \ lbrace（n ^ *（2 ^ * 10 ^ {n + 1} -2 ^ * 10 ^ {n + 1}）- 2 ^ * 10 ^ {n + 1}）\：+ \：20 \：-\：81 ^ * n ^ 2-81n \ rbrace $

$ \ mathrm {Sum} \：=\：\ frac {1} {1458} * \ lbrace10 ^ {n + 1 *}（20n-2n-2）-81n ^ 2-81n + 20 \ rbrace $

$ \ mathrm {Sum} \：=\：\ frac {1} {1458} * \ lbrace10 ^ {n + 1 *}（18n-2）-81n ^ 2-81n + 20 \ rbrace $

例

ソリューションの動作を説明するプログラム

#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;
int calcSumNTerms(int n) {
   return ( ( (18*n - 2)*(pow(10, n+1)) - 81*n*n - 81*n + 20 )/1458 );
}
int main() {
   int n = 5;
   cout<<"The sum of series upto n terms is "<<calcSumNTerms(n);
   return 0;
}

出力

The sum of series upto n terms is 60355