【Cプログラミング】級数 2, 6, 12, 20, 30… の最初のN項の合計を求める方法

この級数の合計を求めるには、まず級数の規則性を分析することから始めましょう。

対象となる級数は次のとおりです。

2, 6, 12, 20, 30…

級数の分析

例

n = 6 の場合
合計 = 112
各項を分析すると、
(1+1), (2+4), (3+9), (4+16)...
つまり、(1+12), (2+22), (3+32), (4+42)...
この級数は、次の2つの級数に分解できます。
s1: 1, 2, 3, 4, 5…
s2: 12, 22, 32, …

このように、各項は「自然数 n」と「その2乗 n²」の和で表されることがわかります。したがって、全体の合計は「自然数の和」と「2乗の和」をそれぞれ数学の公式で求めて足し合わせることで計算できます。

数学公式による合計の導出

Sum1 = 1 + 2 + 3 + 4 … → Sum1 = n * (n + 1) / 2
Sum2 = 12 + 22 + 32 + 42 … → Sum2 = n * (n + 1) * (2n + 1) / 6

最終的な合計は Sum = Sum1 + Sum2 となります。ループで一項ずつ加算する方法よりも、これらの公式を使う方が計算量が O(1) となり、はるかに効率的です。

C言語での実装例

#include <stdio.h>
int main() {
    int n = 3;
    int sum = ((n * (n + 1)) / 2) + ((n * (n + 1) * (2 * n + 1)) / 6);
    printf("the sum series till %d is %d", n, sum);
    return 0;
}

出力結果

The sum of series till 3 is 20

このコードでは、n = 3 の場合、Sum1 = 3×4/2 = 6、Sum2 = 3×4×7/6 = 14 となり、合計は 6 + 14 = 20 です。実際に級数を確認すると 2 + 6 + 12 = 20 であり、正しく計算できていることがわかります。