C++で級数 0.7、0.77、0.777… の最初のn項の総和を求める方法

問題概要

本記事では、級数「0.7、0.77、0.777…」の最初の n 項が与えられたとき、その総和を求めるプログラムを C++ で作成します。

問題を理解するための例

入力：4

出力：3.0247

説明：0.7 + 0.77 + 0.777 + 0.7777 = 3.0247

級数の和の一般公式の導出

各項を順番に加算しても合計は求められますが、級数の構造を利用して一般公式を導出すれば、より効率的に計算できます。以下がその導出過程です。

sum = 0.7 + 0.77 + 0.777 + …（n項まで）
sum = 7 × (0.1 + 0.11 + 0.111 + …（n項まで）)
sum = 7 × (9/9) × (0.1 + 0.11 + 0.111 + …（n項まで）)
sum = (7/9) × (0.9 + 0.99 + 0.999 + …（n項まで）)
sum = (7/9) × ((1 − 0.1) + (1 − 0.01) + (1 − 0.001) + …（n項まで）)
sum = (7/9) × ((1 + 1 + … のn回の和) − (0.1 + 0.01 + 0.001 + …（n項まで）))
sum = (7/9) × (n − (1/10 + 1/100 + 1/1000 + …（n項まで）))
sum = (7/9) × (n − 0.1 × ((1 − (0.1)^n) / (1 − 0.1)))
sum = (7/9) × (n − 0.1 × ((1 − (0.1)^n) / 0.9))
sum = (7/9) × (n − ((1 − (1/10)^n) / 9))
sum = (7/81) × (9n − (1 − (1/10)^n))
sum = (7/81) × (9n − 1 + 10^(−n))

この式が、n 項までの級数の総和を求めるための一般公式です。なお、7/81 ≒ 0.08641 である点に注意してください。

C++による実装例

上記の公式を用いた解法の動作を示すサンプルプログラムがこちらです。

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
float calcSeriesSum(int n) {
    return ( (0.08641) * (9*n - 1) + pow(10, (-1) * n) );
}
int main() {
    int n = 5;
    cout<<"級数 0.7, 0.77, 0.777, ... の最初の n 項の和は "<<calcSeriesSum(n);
    return 0;
}

実行結果

級数 0.7, 0.77, 0.777, ... の最初の n 項の和は 3.80205

n = 5 の場合、0.7 + 0.77 + 0.777 + 0.7777 + 0.77777 の総和は 3.80205 となります。この手法なら、各項をループで順に加算する O(n) のアプローチとは異なり、O(1) の定数時間で答えを求められるため、n が大きくなっても高速に動作するのが大きなメリットです。