Cプログラミングで級数 2、10、30、68、… の最初のN項の合計を求める方法

この級数の合計を求めるには、まず級数の規則性を分析することから始めましょう。

対象となる級数は次のとおりです。

2、10、30、68、…

例

n = 6 の場合
合計 = 462

級数の規則性を分析する

与えられた級数をよく観察すると、この級数は2つの級数の和で構成されていることがわかります。1つ目は自然数 n の級数、2つ目は自然数 n の3乗（立方数）の級数です。つまり、各項は次のように分解できます。

2, 10, 30, 68 = (1+1³), (2+2³), (3+3³), (4+4³)

したがって、級数全体の合計は次のように表すことができます。

sum = 2 + 10 + 30 + 68 … = (1 + 2 + 3 + 4 …) + (1³ + 2³ + 3³ + 4³ …)

この性質に基づけば、級数の合計を求める公式は、2つの級数それぞれの公式を足し合わせたものとして定義できます。

合計を求める数学的公式

上記の級数の最初のN項の合計を求める数学的公式は次のとおりです。

n*(n + 1)/2 + (n*(n + 1)/2)²

前半の n(n+1)/2 は自然数の和、後半の (n(n+1)/2)² は立方数の和を表しています。たとえば n = 6 の場合、6×7÷2 = 21 となり、21 + 21² = 21 + 441 = 462 が合計になります。

C言語での実装例

#include <stdio.h>
int main() {
   int n = 6;
   int sum = (n*(n + 1)/2) + (n*(n+1)/2)*(n*(n+1)/2);
   printf("the sum of series till %d is %d", n, sum);
   return 0;
}

出力結果

the sum of series till 6 is 462

このように、級数を2つの基本的な級数に分解して考えることで、ループ処理を使わずにO(1)の計算量で合計を効率的に求めることができます。