C++で級数 1+(1+3)+(1+3+5)+…+(1+3+5+…+(2n−1)) の総和を求める方法

この問題では、整数 n が与えられ、級数 1 + (1+3) + (1+3+5) + (1+3+5+7) + … + (1+3+5+7+…+(2n−1)) の総和を求めるプログラムを作成します。

問題例

入力： n = 5

出力： 55

つまり、ユーザーから数値「n」を受け取り、この級数の総和を計算して出力するのが課題です。

まず、この級数がどのような構造になっているのかを確認しましょう。

• n = 1 のとき、級数は「1」になります。
• n = 2 のとき、最終項の 2n−1 は 2×2−1 = 3 となるため、級数は「1 + (1+3)」になります。

解法のアプローチ

この問題には大きく分けて2つの解き方があります。1つは数学的な解法で、総和を表す式を導出できればループ処理が不要になります。もう1つは、プログラム内で二重ループを使う方法です。

方法1：ループを使った直接的な解法

この級数は、各項自体がさらに級数になっているという特徴があります。そこで、ネストされたループ（二重ループ）を使用します。外側のループで第何項まで処理するかを制御し、内側のループで各項の値を計算します。

コード例

#include<stdio.h>

int calcSum(int n){
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // 各項の最初の値は必ず 1
        int value = 1;
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            sum += value;
            // 次の奇数へ
            value += 2;
        }
    }
    return sum;
}

int main(){
    int n = 35;
    printf("%d までの級数の総和は %d です", n , calcSum(n));
}

出力

35 までの級数の総和は 14910 です

プログラムの動作解説

ここでは n = 2 を入力した場合を例に、処理の流れを追ってみましょう。

• ユーザーが n の値（例：2）を入力します。
• 初期値 0 の変数「sum」が宣言されます。
• i = 1 のとき、条件 i <= n が真のため外側のループが実行されます。
  • 変数 value の値は 1 です。
  • j = 1 のとき、j と i が等しいため条件が真となり、内側のループが動作します。
  • value の値が sum に加算され、sum は 0 + 1 = 1 になります。
  • value に 2 が加算され、新しい値は 1 + 2 = 3 になります。
  • j が 1 増えて 2 になると、j > i となるため内側のループを抜けます。
• 次に i が 1 増えて 2 になり、条件 i <= n が真のため再びループに入ります。
  • 変数 value は再び 1 で初期化されます。
  • j = 1 のとき、1 < 2 なのでループが実行されます。
  • value が sum に加算され、sum は 1 + 1 = 2 になります。
  • value に 2 が加算され、新しい値は 1 + 2 = 3 になります。
  • j が 1 増えて 2 になります。j と i が等しいので条件は真であり、ループは継続します。
  • value が sum に加算され、sum は 2 + 3 = 5 になります。
  • value に 2 が加算され、新しい値は 3 + 2 = 5 になります。
  • j が 1 増えて 3 になると、j > i となるためループを抜けます。
• さらに i が 3 になると、条件 i <= n が偽になるため外側のループを終了します。
• メッセージと sum の値が画面に出力されます。

方法2：数学的な解法

コードを書く前に数学的な解法を見つけておくと、コードを大幅にシンプルにできます。

まず、級数の一般項 T_n について考えてみましょう。重要なポイントとして、連続する奇数の級数 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … + (2n−1) の総和は n² になることが知られています。つまり、今回求める総和 S は次のように書けます。

S = 1² + 2² + 3² + … + n²

これは「平方数の和」の公式を使えば、次のような閉じた形で表せます。

S = n(n + 1)(2n + 1) / 6

この公式を使えば、ループ処理なしに定数時間 O(1) で答えを求められます。

数学的解法のコード例

#include<stdio.h>

int calcSum(int n){
    // 求める総和
    return (( (n) * (n + 1) * (2*n + 1 ) )/6 ) ;
}

int main(){
    int n = 35;
    printf("%d までの級数の総和は %d です", n , calcSum(n));
}

出力

35 までの級数の総和は 14910 です

上記コードの動作：

例えば、ユーザーが n = 2 を入力した場合、2n−1 の値は 3 となり、級数は 1 + (1+3) になります。コードを通じて総和がどのように得られるか見てみましょう。

• 引数 2 を渡して calcSum() 関数が呼び出されます。
• 関数内で公式 n(n+1)(2n+1)/6 に基づいて総和（この場合は 5）が計算され、main 関数に返されます。
• 答えを含むメッセージが画面に出力されます。