Python NumPyのchebfit()でチェビシェフ級数の最小二乗近似をデータにフィットさせる方法

チェビシェフ級数の最小二乗近似をデータに適合させるには、PythonのNumPyが提供するchebyshev.chebfit()関数を使用します。この関数は、低次から高次の順に並べられたチェビシェフ係数を返します。yが2次元配列の場合、yのk列目のデータに対応する係数は、結果のk列目に格納されます。

引数xには、M個のサンプル（データ）点(x[i], y[i])のx座標を指定します。引数yにはサンプル点のy座標を指定します。同じx座標を共有する複数組のサンプル点は、1つのデータセットを1列として含む2次元配列をyに渡すことで、1回の呼び出しでそれぞれ独立にフィットできます。引数degはフィッティング多項式の次数であり、単一の整数を指定した場合は、deg次までのすべての項がフィットに含まれます。

主なパラメータ

rcond：フィットの相対条件数です。最大特異値と比べてrcondより小さい特異値は無視されます。デフォルト値はlen(x)*epsで、epsはプラットフォームのfloat型の相対精度（ほとんどの場合約2e-16）です。

full：戻り値の内容を決定するスイッチです。False（デフォルト）の場合は係数のみが返され、Trueの場合は特異値分解による診断情報も併せて返されます。

w：重みです。None以外を指定した場合、重みw[i]はx[i]における残差y[i] − ŷ[i]に適用されます。理想的には、積w[i]*y[i]の誤差がすべて同じ分散を持つように重みを選択します。逆分散による重み付けを行う場合は、w[i] = 1/sigma(y[i])を指定します。デフォルト値はNoneです。

実装手順

まず、必要なライブラリをインポートします。

import numpy as np
from numpy.polynomial import chebyshev as C

x座標を生成します。

x = np.linspace(-1,1,51)

x座標を表示します。

print("X Co-ordinate...\n",x)

y座標を生成します。ここでは、3次多項式に正規乱数のノイズを加えたデータを作成しています。

y = x**3 - x + np.random.randn(len(x))
print("\nY Co-ordinate...\n",y)

チェビシェフ級数の最小二乗近似を求めるには、chebyshev.chebfit()を使用します。full=Trueを指定することで、係数に加えて診断情報も取得できます。

c, stats = C.chebfit(x,y,3,full=True)
print("\nResult...\n",c)
print("\nResult...\n",stats)

コード例全体

import numpy as np
from numpy.polynomial import chebyshev as C

# x座標の生成
x = np.linspace(-1,1,51)

# x座標の表示
print("X Co-ordinate...\n",x)

# y座標の生成（3次多項式＋正規乱数ノイズ）
y = x**3 - x + np.random.randn(len(x))
print("\nY Co-ordinate...\n",y)

# チェビシェフ級数の最小二乗近似を実行
c, stats = C.chebfit(x,y,3,full=True)

print("\nResult...\n",c)

print("\nResult...\n",stats)

出力結果

X Co-ordinate...
    [-1. -0.96 -0.92 -0.88 -0.84 -0.8 -0.76 -0.72 -0.68 -0.64 -0.6 -0.56
     -0.52 -0.48 -0.44 -0.4 -0.36 -0.32 -0.28 -0.24 -0.2 -0.16 -0.12 -0.08
     -0.04 0. 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2 0.24 0.28 0.32 0.36 0.4
      0.44 0.48 0.52 0.56 0.6 0.64 0.68 0.72 0.76 0.8 0.84 0.88
      0.92 0.96 1. ]

Y Co-ordinate...
    [   0.04578661 -0.41009751 -0.59839355 -0.86942574  1.19418042 -0.53671972
     -0.71247683  0.7118818  -0.09274183  1.46114141 -0.40189463 -0.84017206
     -1.00618725 -0.7191427  -0.48005631 -0.28661328  0.58161734  2.62382626
     -0.56256678  0.92925678  1.68074305  0.97381262  1.22568804  1.71884192
      1.03080843  0.55990935  0.29117168 -0.63718482  0.49396313 -0.32920431
      1.16682261  0.90746863 -1.0058597   0.54972961 -1.06040041 -0.11828954
     -0.51446299 -1.97932024 -0.91902371 -0.31859977 -1.16124938  0.31809796
      0.54940462 -1.11008331  1.04918751 -2.60742632 -1.07242746  0.54313779
     -0.3440979  -0.28234564  0.46429998]

Result...
    [-0.12730537 -0.08699379 -0.4211565 0.32959334]

Result...
    [array([43.34485511]), 4, array([1.20144978, 1.19227163, 0.76058422, 0.74600162]), 1.1324274851176597e-14]