Python NumPyでHermite_e級数の最小二乗フィッティングをデータに適用する方法

データに対してHermite_e（エルミートE）級数の最小二乗フィッティングを行うには、PythonのNumPyに含まれる hermite_e.hermefit() メソッドを使用します。このメソッドは、低次項から高次項の順に並べられたHermite_e級数の係数を返します。yが2次元配列の場合、yのk列目のデータに対する係数は、結果のk列目に格納されます。

主なパラメータの意味は以下のとおりです。
x：M個のサンプル点 (x[i], y[i]) のx座標を指定します。
y：サンプル点のy座標を指定します。同じx座標を共有する複数組のサンプル点セットは、各データセットを1列とした2次元配列として渡すことで、1回の呼び出しでそれぞれ独立にフィッティングできます。
deg：フィッティング多項式の次数です。単一の整数を指定した場合は、deg次までのすべての項がフィットに含まれます。
rcond：フィッティングの相対条件数です。最大特異値と比較してrcondより小さい特異値は無視されます。デフォルト値は len(x)*eps で、epsはプラットフォームのfloat型の相対精度（多くの場合約2e-16）です。
full：戻り値の内容を決めるスイッチです。False（デフォルト）の場合は係数のみを返し、Trueの場合は特異値分解による診断情報も併せて返します。
w：重みです。None以外を指定した場合、w[i]はx[i]における非二乗残差 y[i] - y_hat[i] に適用されます。理想的には、w[i]*y[i] の積の誤差がすべて同じ分散を持つように重みを選択します。逆分散加重を使用する場合は、w[i] = 1/sigma(y[i]) を指定します。デフォルト値はNoneです。

手順

まず、必要なライブラリをインポートします。

import numpy as np
from numpy.polynomial import hermite_e as H

x座標を作成します。

x = np.linspace(-1,1,51)

x座標を表示します。

print("X Co-ordinate...\n",x)

y座標を作成して表示します。ここでは3次関数にランダムなノイズを加えたデータを生成しています。

y = x**3 - x + np.random.randn(len(x))
print("\nY Co-ordinate...\n",y)

Hermite_e級数の最小二乗フィッティングを実行するには、hermite_e.hermefit() メソッドを使用します。

c, stats = H.hermefit(x,y,3,full=True)
print("\nResult...\n",c)
print("\nResult...\n",stats)

サンプルコード

import numpy as np
from numpy.polynomial import hermite_e as H

# x座標の作成
x = np.linspace(-1,1,51)

# x座標の表示
print("X Co-ordinate...\n",x)

# y座標の作成（3次関数＋ノイズ）
y = x**3 - x + np.random.randn(len(x))
print("\nY Co-ordinate...\n",y)

# hermite_e.hermefit() メソッドで最小二乗フィッティングを実行
c, stats = H.hermefit(x,y,3,full=True)

print("\nResult...\n",c)

print("\nResult...\n",stats)

出力結果

X Co-ordinate...
  [-1.   -0.96 -0.92 -0.88 -0.84 -0.8  -0.76 -0.72 -0.68 -0.64 -0.6  -0.56
   -0.52 -0.48 -0.44 -0.4  -0.36 -0.32 -0.28 -0.24 -0.2  -0.16 -0.12 -0.08
   -0.04  0.    0.04  0.08  0.12  0.16  0.2   0.24  0.28  0.32  0.36  0.4
    0.44  0.48  0.52  0.56  0.6   0.64  0.68  0.72  0.76  0.8   0.84  0.88
    0.92  0.96  1. ]

Y Co-ordinate...
  [-0.54079609 -1.17586687 -0.81506394  0.8047718  -1.21403444 -1.09247646
   -0.88942226 -0.62335081  0.83995142  0.29147171  2.45859847 -0.37545462
    0.90161986 -0.7125131  -0.82978518  0.25422338  0.62073702 -1.43305948
    0.96436296  0.03069738 -1.07349677  0.55233582  1.23286374  0.37330458
    0.27239629  0.46859691 -0.1074476   1.19279741  0.15844038 -0.20424904
   -1.41467693 -0.79396457 -2.38068246 -1.24121297 -0.7877071  -1.09171002
    1.0806185  -0.94389035 -2.16201749  0.21671724 -1.15596405  0.57090598
   -0.52496753 -0.20358065 -3.72121093  1.39868958 -0.02626711 -1.51582035
   -0.12223608 -0.58368042  0.69138128]

Result...
 [-0.54892802 4.71593168 -0.40858959 2.08689429]

Result...
 [array([51.90771673]), 4, array([1.41192215, 1.37967947, 0.31061966, 0.08047256]), 1.1324274851176597e-14]

このように、hermefit() メソッドを使うことで、ノイズを含むデータに対してもHermite_e級数による最小二乗近似を簡単に求めることができます。full=True を指定した場合は、残差の二乗和、ランク、特異値、条件数などの診断情報も確認できるため、フィッティングの品質評価にも役立ちます。