ひし形に内接する円の面積の求め方｜対角線から導く公式とC言語サンプルコード

ひし形に内接する円は、ひし形の4つの辺にそれぞれ1点ずつ接します。つまり、ひし形の各辺はすべて円の接線となっています。

ここで、r は求めるべき半径です。値が与えられた2つの対角線 a と b を使って計算していきます。

半径 r の導出方法

図中の三角形 AOB の面積を、2通りの方法で表してみましょう。

三角形 AOB の面積 = ½ × OA × OB = ½ × AB × r（どちらも「面積 = ½ × 底辺 × 高さ」の公式を使用）

この等式を式に整理すると、次のようになります。

½ × (a/2) × (b/2) = ½ × √(a²/4 + b²/4) × r

a×b / 8 = √(a² + b²) × r / 4

これを r について解くと、

r = a×b / (2√(a² + b²))

円の面積の公式

半径 r が求まったので、円の面積は次の公式で表せます。

円の面積 = πr² = πa²b² / [4(a² + b²)]

計算例

ひし形の対角線が 5 と 10 の場合を考えてみます。

このとき、内接円の面積は 15.700000 となります。

サンプルコード

#include <stdio.h>
int main(void) {
    int a = 5; int b= 10;
    float pie = 3.14;
    float area = (float)((pie*a*a*b*b)/(4*((a*a)+(b*b))));
    printf("The area of circle inscribed in the rhombus of diagonal %d and %d is %f",a,b,area);
    return 0;
}

実行結果

The area of circle inscribed in the rhombus of diagonal 5 and 10 is 15.700000