C++プログラムで正N角形に内接する最大の円の面積を求める方法

正N角形に内接する最大の円とは

本記事では、一辺の長さが a である正N角形に内接する最大の円（内接円）の面積を、C++プログラムで求める方法を解説します。

数学的な背景と公式

正n角形に内接する最大の円の半径 r は、次の公式で表されます。

r = a / (2 * tan(180/n))

例として、六角形（n=6）を考えてみます。この場合、中心から見た半分の角度は30度になることが数学的に知られています。

したがって、円の半径は以下のように計算できます。

r = a / (2 * tan(30°)) = a√3 / 2

公式の導出

正多角形は、中心を共有するN個の同一の二等辺三角形に分割できます。そのうちの一つの三角形に注目すると、中心における全角度360度をN等分できることがわかります。

角度 x = 180/n
tan(x) = (a/2) / r
よって、r = a / (2 * tan(x))

内接円の面積は、
A = πr² = π * (a / (2 * tan(x))) * (a / (2 * tan(x)))

サンプルコード

以下は、六角形（n=6）の一辺の長さを4として、内接円の面積を計算するC++プログラムです。

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
   float area;
   float n = 6; float a = 4;
   float r = a / (2 * tan((180 / n) * 3.14159 / 180));
   area = (3.14) * (r) * (r);
   cout <<"area = "<<area<< endl;
   return 0;
}

コードの解説

• n = 6：辺の数（六角形）を表します。
• a = 4：一辺の長さです。
• (180 / n) * 3.14159 / 180：角度を度からラジアンに変換しています。C++のtan関数はラジアンを引数として受け取るため、この変換が必要です。
• area = 3.14 * r * r：円の面積の公式 A = πr² を用いて面積を計算します。

実行結果

area = 37.6801

まとめ

正N角形に内接する最大の円の面積は、半径の公式 r = a / (2 * tan(180/n)) を使えば簡単に求められます。プログラム実装の際は、角度の単位変換（度→ラジアン）を忘れないことが重要なポイントです。