半円に内接する長方形に内接する円の面積の求め方

半径 R の半円が与えられているとします。この半円の中に、長さ l、幅 b の長方形が内接しており、さらにその長方形の中に半径 r の円が内接しています。本記事では、この内側の円の面積を求める手順を、数式の導出からC++による実装例までわかりやすく解説します。

半円に内接する最大の長方形

半円に内接する長方形は、底辺が半円の直径上にあり、上側の2つの頂点が半円周上にあります。このとき、三平方の定理（ピタゴラスの定理）より、l と b の間には次の関係が成り立ちます。

(l / 2)² + b² = R²

長方形の面積 A = l × b を最大化する条件を求めると、微分計算により次の値が得られます。

• 長さ：l = R√2
• 幅：b = R / √2

長方形に内接する最大の円

長さ l、幅 b の長方形に内接できる最大の円の半径は、短い方の辺の長さの半分に等しくなります。

r = min(l, b) / 2

ここで l = R√2 ＞ b = R/√2 であるため、内接円の半径は次のようになります。

r = b / 2 = R / (2√2)

内側の円の面積の公式

以上より、内側の円の面積は次の公式で表されます。

面積 = πr² = π × (R / (2√2))² = πR² / 8

C++による実装例

この公式をC++プログラムとして実装すると、以下のようになります。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

float innerCircleArea(float R){
    return 3.1415 * pow(R / (2 * sqrt(2)), 2);
}

int main() {
    float rad = 12.0f;
    cout << "Area: " << innerCircleArea(rad);
}

出力結果

Area: 56.547

半径 R = 12 の半円の場合、内側の円の面積は約 56.547 となります。これは理論値 π × 12² / 8 = 18π ≒ 56.55 と一致しており、公式が正しく機能していることが確認できます。