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直角三角形の外接円の面積を求める方法｜公式の導出と計算例を解説

直角三角形の外接円の面積は、斜辺の長さ（H）が分かれば、次の簡単な公式で求めることができます。

外接円の面積 = πH2 / 4

公式が成り立つ理由

外接円とは、三角形の3つの頂点すべてを通る円のことです。直角三角形の場合、「円に内接する角が直角である弦は直径である」というタレスの定理により、斜辺は必ず円の中心を通る最長の弦、すなわち直径になります。

円の面積の一般的な公式は πd2/4（d は直径、d = 2r）です。ここで直径 d を斜辺 H に置き換えることで、πH2/4 という公式が導かれます。

直角三角形の外接円の面積を求める方法｜公式の導出と計算例を解説

計算例

斜辺 H = 8 の場合：

  • 外接円の面積 = π × 82 ÷ 4 = 16π ≒ 50.26

サンプルコード（C言語）

#include <stdio.h>
int main(void) {
    int H = 14;
    float pie = 3.14;
    float area = (float)((pie*H*H)/4);
    printf("the area of circumcircle of a right angled triangle of Hypotenuse %d is %f",H,area);
    return 0;
}

実行結果

the area of circumcircle of a right angled triangle of Hypotenuse 14 is 153.860016

このように、斜辺の長ささえ分かれば一瞬で外接円の面積を計算できるため、競技プログラミングや数学の問題でも頻繁に活用される公式です。

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