正六角形に内接する正方形に内接する最大のルーロー三角形の面積を求める方法

この記事では、正六角形に内接する正方形の中に内接する最大のルーロー三角形の面積を求める方法を解説します。

まず用語を整理しましょう。ルーロー三角形とは、正三角形の各頂点を中心として、残りの頂点を通る円弧を描くことで得られる曲線三角形で、「どの方向から測っても幅が一定」という性質を持つ代表的な定幅図形です。

ここでは、正六角形の一辺の長さを a、その内部に収まる正方形の一辺を x、ルーロー三角形の高さ（幅）を h とします。

正六角形に内接する正方形の一辺

一辺 a の正六角形に内接する正方形の一辺 x は、幾何学的な導出により次の式で表されます。

𝑥 = 1.268𝑎

ルーロー三角形の面積

ルーロー三角形の高さ h は、外側の正方形の一辺 x と一致します。つまり h = x です。ルーロー三角形の面積は一般的に次の公式で求められます。

これに x = 1.268a を代入すると、正六角形の一辺 a を使って直接面積を計算できます。

C++による実装例

実際に C++ プログラムで計算してみましょう。引数 a が負の場合は不正な値として -1 を返すようにしています。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
float areaReuleaux(float a) { // 六角形の一辺は a
   if (a < 0) // a が負の場合は無効
      return -1;
   float area = ((3.1415 - sqrt(3)) * (1.268*a) * (1.268*a))/2;
   return area;
}
int main() {
   float side = 5;
   cout << "Area of Reuleaux Triangle: " << areaReuleaux(side);
}

出力結果

Area of Reuleaux Triangle: 28.3268

一辺 5 の正六角形の場合、内接する正方形の一辺は 1.268 × 5 = 6.34 となり、それに対応するルーロー三角形の面積は約 28.33 と求まります。このように、一辺の長ささえ分かれば、係数 1.268 を掛けるだけで簡単に最大のルーロー三角形の面積を計算できます。