楕円に内接する正方形の中に描ける最大のルーロー三角形の面積を求める方法

概要

本記事では、「楕円に内接する正方形」の中に収まる最大のルーロー三角形（Reuleaux Triangle）の面積を求める方法を解説します。ルーロー三角形とは、正三角形の3つの頂点をそれぞれ中心として、ほかの頂点を通る円弧をつなぎ合わせてできる幅一定の曲線三角形で、マンホールの蓋などにも使われることで知られる形状です。

ここでは、楕円の長軸の長さを 2a、短軸の長さを 2b とし、内接する正方形の一辺を x、ルーロー三角形の高さを h として考えます。

ステップ1：楕円に内接する正方形の一辺を求める

長軸が 2a、短軸が 2b の楕円に内接する正方形の一辺は、次の式で与えられます。

ステップ2：ルーロー三角形の面積を計算する

この正方形に内接する最大のルーロー三角形の高さ h は、正方形の一辺と等しくなります。すなわち h = x です。したがって、求めるルーロー三角形の面積は次の式で表されます。

C++での実装例

以下のコードは、楕円の長半径 a と短半径 b を引数として受け取り、対応するルーロー三角形の面積を返します。a または b が負の値である場合は、無効な入力として -1 を返します。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

float areaReuleaux(float a, float b) { // a, b はそれぞれ楕円の長半径・短半径
    if (a < 0 || b < 0) // どちらか一方でも負であれば無効な値
        return -1;
    float x = sqrt((a*a) + (b*b)) / (a*b);
    float area = ((3.1415 - sqrt(3)) * (x) * (x)) / 2;
    return area;
}

int main() {
    float a = 5;
    float b = 4;
    cout << "Area of Reuleaux Triangle: " << areaReuleaux(a, b);
}

実行結果

Area of Reuleaux Triangle: 0.0722343

a = 5、b = 4 を入力して実行すると、ルーロー三角形の面積として約 0.0722 が出力されます。このように、楕円の長半径と短半径から正方形の一辺を導き、その値をそのままルーロー三角形の高さとして面積の式に代入することで、目的の面積を簡単に計算できます。