C言語で求める六角形に内接する正方形に内接する最大のルーロー三角形の面積

ルーロー三角形とは？

ルーロー三角形（Reuleaux triangle）は、3つの円盤の共通部分として形成される図形です。それぞれの円の中心は、他の2つの円の境界上に配置されています。この境界線は定幅曲線と呼ばれ、円を除けば最も単純でよく知られた定幅曲線です。

「定幅」とは、図形を挟む任意の2本の平行な支持線の間隔が、線の向きに関係なく常に一定であることを意味します。どの方向から測っても幅が同じになるため、ルーロー三角形は回転しても一定の幅を保つことができます。

ルーロー三角形の境界は、正三角形を基礎とする定幅曲線です。一辺上のすべての点は、対向する頂点から等しい距離にあります。

ルーロー三角形の作図方法

1. まず正三角形を描きます。
2. 各頂点を中心として、残りの2つの頂点を通る円弧を描きます。
3. 3つの円弧に囲まれた領域がルーロー三角形になります。

ルーロー三角形の面積公式

正三角形を基礎とし、その一辺の長さを h とすると、ルーロー三角形の面積 A は次の式で求められます。

A = (π × h²) / 2 − 2 ×（正三角形の面積）
　= (π − √3) × h² / 2
　≈ 0.70477 × h²

問題設定：六角形 → 正方形 → ルーロー三角形

今回求めるのは、正六角形に内接する最大の正方形の中に、さらに内接する最大のルーロー三角形の面積です。

ステップ1：正六角形に内接する正方形の一辺

正六角形の一辺の長さを a とします。六角形の辺はすべて等しく、幾何学的な計算により、内接する正方形の一辺 d との間に次の関係が成り立ちます。

d / a = 3 − √3 ≈ 1.268
d = 1.268 × a

ステップ2：正方形に内接するルーロー三角形の面積

ルーロー三角形の面積は 0.70477 × w² で表されます。ここで w は、ルーロー三角形を挟む平行な支持線どうしの距離（定幅）です。

正方形に内接する場合、この幅は正方形の一辺の長さと一致します。したがって、正方形の一辺を x = 1.268a とすると、求める面積は次のようになります。

A = 0.70477 × x² = 0.70477 × (1.268 × a)²

計算例

入力：5
出力：28.3287

これは、正六角形の一辺 a = 5 の場合の計算結果です。手順を確認してみましょう。

• 内接する正方形の一辺：x = 1.268 × 5 = 6.34
• ルーロー三角形の面積：A = 0.70477 × 6.34² ≈ 28.3287

導出のまとめ

• 正六角形に内接する正方形の一辺：x = 1.268a
• ルーロー三角形の幅：h = x = 1.268a
• ルーロー三角形の面積：A = 0.70477 × h² = 0.70477 × (1.268a)²

C言語による実装例

#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main() {
    float a = 7;                       // 正六角形の一辺
    float h = 1.268 * a;               // 内接する正方形の一辺
    float area = 0.70477 * pow(h, 2);  // ルーロー三角形の面積
    printf("The area is : %f", area);
    return 0;
}

実行結果

The area is : 55.524166

正六角形の一辺が 7 の場合、内接する正方形の一辺は 1.268 × 7 = 8.876 となり、その中に収まる最大のルーロー三角形の面積は約 55.52 と計算されます。このように、定数 1.268 と 0.70477 を使えば、六角形の一辺の長さだけから目的の面積を簡単に求めることができます。