C言語で解く！正方形内に収まる最大のルーロー三角形の面積

ルーロー三角形とは、3つの円の共通部分によって形成される図形です。それぞれの円の中心は、他の2つの円の境界上に位置します。この図形の境界は「定幅曲線」と呼ばれ、円を除けば最も単純で有名な定幅曲線です。

「定幅」とは、どのような向きであっても、図形を挟む2本の平行な支持線の間隔が常に一定であることを意味します。これは、あらゆる方向の幅（直径）が等しいことに起因します。

ルーロー三角形の構成

ルーロー三角形の境界は、正三角形を基礎とした定幅曲線です。一辺上のすべての点は、対向する頂点から等距離にあります。

作図するには、正三角形の各頂点を中心として、頂点間の距離を半径とする円弧を描き、それらをつなぎ合わせます。

ルーロー三角形の面積公式

一辺の長さが h の正三角形を基礎とする場合、ルーロー三角形の面積 A は次の式で表されます。

A = (π × h2) / 2 − 2 × (正三角形の面積) = (π − √3) × h2 / 2 = 0.70477 × h2

正方形内の最大のルーロー三角形

それでは、具体的な例を見てみましょう。

入力：a = 6
出力：25.3717

解説

ルーロー三角形の面積は 0.70477 × b² で表されます。ここで b は、ルーロー三角形を挟む平行な2つの支持線の間隔（幅）です。

この平行線の間隔は、正方形の一辺の長さ、すなわち a に等しくなります。

したがって、正方形内に収まる最大のルーロー三角形の面積は次のようになります。

A = 0.70477 × a²

C言語による実装例

#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main() {
   float a = 6;
   float area = 0.70477 * pow(a, 2);
   printf("The area is : %f",area);
   return 0;
}

実行結果

The area is : 25.371719