正三角形に内接する正方形の中に収まる最大のルーローの三角形の面積を求める方法

この記事では、正三角形に内接する正方形の内部に収まる最大のルーローの三角形の面積を求める方法を解説します。正三角形の一辺の長さを「a」、内接する正方形の一辺を「x」、ルーローの三角形の高さを「h」とします。

数学的な導出

一辺が a の正三角形に内接する正方形の一辺 x は、幾何学的な計算により次の値になります。

𝑥 = 0.464𝑎

ルーローの三角形の高さ h は、正方形の一辺 x と等しくなります。つまり、x = h という関係が成り立ちます。

高さ h のルーローの三角形の面積は、次の公式で求められます。

面積 = ((π − √3) × h²) / 2

この公式に h = 0.464a を代入することで、正三角形の一辺 a から直接ルーローの三角形の面積を計算できます。

C++による実装例

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
float areaReuleaux(float a) { //三角形の一辺は a
    if (a < 0) //a が負の場合は無効な入力
        return -1;
    float area = ((3.1415 - sqrt(3)) * (0.464*a) * (0.464*a))/2;
    return area;
}
int main() {
    float side = 5;
    cout << "Area of Reuleaux Triangle: " << areaReuleaux(side);
}

出力結果

Area of Reuleaux Triangle: 3.79311

このプログラムでは、まず入力値 a が負でないかをチェックし、負の場合は -1 を返して無効な入力であることを示します。有効な入力であれば、公式に従って面積を計算して返します。一辺 5 の正三角形の場合、内接する正方形に収まる最大のルーローの三角形の面積は約 3.79311 という結果が得られます。