半円に内接する正方形の中に収まる最大のルーロー三角形の面積を求める方法

本記事では、半円に内接する正方形の中に内接する最大のルーロー三角形の面積を求める方法を解説します。半円の半径を R、正方形の一辺の長さを a、ルーロー三角形の高さを h として考えます。

数学的な導出

まず、半径 R の半円に内接する正方形の一辺の長さは、次の式で表されます。

a = 2R / √5

次に、ルーロー三角形の高さは、この正方形の一辺と等しくなります。したがって、a = h が成り立ちます。

一般に、高さ h のルーロー三角形の面積は、以下の公式で求められます。

面積 = ((π − √3) × h²) / 2

ここに h = 2R / √5 を代入すると、最終的な面積の式は次のようになります。

面積 = ((π − √3) × (2R / √5)²) / 2

C++による実装例

上記の式を C++ プログラムで実装すると、次のようになります。引数として渡された半径 r が負の場合は無効な入力として -1 を返す点にも注目してください。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
float areaReuleaux(float r) { // 半円の半径 r
    if (r < 0) // r が負の場合は無効
        return -1;
    float area = ((3.1415 - sqrt(3)) * (2*r/(sqrt(5))) * (2*r/(sqrt(5))))/2;
    return area;
}
int main() {
    float rad = 8;
    cout << "Area of Reuleaux Triangle: " << areaReuleaux(rad);
}

出力結果

Area of Reuleaux Triangle: 36.0819

このように、半径 8 の半円に対して、内接する正方形を経由して求めた最大のルーロー三角形の面積は約 36.08 となります。幾何学的な関係式を組み合わせることで、複雑に見える図形の面積も段階的に導出できるのがポイントです。