ルーロー三角形の面積の求め方｜公式の導出とC++での計算例

本記事では、下図のようなルーロー三角形の面積を求める方法を解説します。ルーロー三角形の内部には一辺の長さが等しい正三角形が含まれており、その高さを h とします。この図形は、正三角形の各頂点を中心とした3つの円が重なり合った部分（共通部分）として作られます。

ルーロー三角形とは

ルーロー三角形は、正三角形の3つの頂点をそれぞれ中心とし、頂点間の距離を半径とする3つの円の交わりでできる図形です。どの方向から測っても幅が一定になる「定幅図形」の最も簡単な例として知られており、マンホールの蓋や一部の工具などにも応用されています。

面積の導出方法

ルーロー三角形の面積は、3つの扇形（おうぎ形）に分解して考えると求めやすくなります。各扇形の中心角は60度（π/3 ラジアン）、半径は h なので、それぞれの面積は次のとおりです。

この扇形を3つ足し合わせると、中央にある正三角形の領域が3回重複して数えられてしまいます。そこで、余分な2回分の正三角形の面積（各 (√3/4)h²）を差し引く必要があります。以上を整理すると、最終的な面積は次の公式で表されます。

つまり、面積 = ((π − √3) / 2) × h² となります。

C++による実装例

上記の公式をC++のプログラムで実装すると、以下のようになります。入力値 h が負の場合は無効な値として -1 を返すようにしています。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
float areaReuleaux(float h) {
   if (h < 0) //if h is negative it is invalid
   return -1;
   float area = ((3.1415 - sqrt(3)) * h * h)/2;
   return area;
}
int main() {
   float height = 6;
   cout << "Area of Reuleaux Triangle: " << areaReuleaux(height);
}

実行結果

高さ h = 6 の場合、プログラムを実行すると次の出力が得られます。

Area of Reuleaux Triangle: 25.3701

このように、ルーロー三角形の面積は高さ h さえわかれば、簡単な公式ひとつで計算できます。幾何学的な性質を理解したうえで、ぜひプログラムでも試してみてください。