C言語で解く：半円に内接する正方形の中に収まる最大のルーロー三角形の面積

ルーロー三角形（Reuleaux triangle）は、3つの円の共通部分として形成される図形です。それぞれの円の中心が、他の2つの円の境界上に位置するように描きます。その境界は定幅曲線（constant width curve）と呼ばれ、円を除けば最も単純でよく知られた定幅曲線です。

ここでいう「定幅」とは、図形を挟む2本の平行な支持線の間隔が、どの向きで測っても常に一定であることを意味します。言い換えれば、あらゆる方向の幅（直径）が等しいということです。

ルーロー三角形の境界は、正三角形をもとにした定幅曲線になっています。一辺上のすべての点は、対向する頂点から等距離にあります。

ルーロー三角形の作り方

正三角形の各頂点を中心とし、その頂点から他の2頂点までの距離（＝一辺の長さ）を半径とする円弧を描き、3つの円弧をつなぎ合わせることでルーロー三角形が得られます。

ルーロー三角形の面積公式

一辺の長さが h の正三角形をもとにしたルーロー三角形の面積は、次の式で表されます。

A = (π × h²) / 2 − 2 ×（正三角形の面積）= (π − √3) × h² / 2 ≈ 0.70477 × h²

半円に内接する正方形、さらにその中の最大ルーロー三角形

半径 r の半円に内接する正方形があり、さらにその正方形に内接する最大のルーロー三角形を考えると、下の図のようになります。

まず、半円に内接する最大の正方形について考えます。下の図のように配置されます。

r を半円の半径、a を正方形の一辺の長さとします。直角三角形 AOB において三平方の定理より、

a² + (a/2)² = r²

5 × (a²/4) = r²

a² = 4r²/5　…これが正方形の面積になります

次に、正方形の中に収まる最大のルーロー三角形を考えます。ルーロー三角形の面積は 0.70477 × b² で表されます。ここで b は、ルーロー三角形を挟む平行な支持線同士の距離（幅）です。

この支持線間の距離は、正方形の一辺の長さ a に等しくなります。したがって、

ルーロー三角形の面積 A = 0.70477 × a²

入力：r = 5
出力：14.0954

解説

半径 r の半円に内接する正方形、さらにその中に内接するルーロー三角形を考え、このルーロー三角形の最大面積を求めます。

半円に内接する正方形の一辺の長さは、a = 2r/√5 となります。

x = a = 2r/√5

ルーロー三角形の面積は、

A = 0.70477 × x² = 0.70477 × (4r²/5)

C言語での実装例

#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main() {
    float r = 5;
    float x = (2 * r) / sqrt(5);
    float A = 0.70477 * pow(x, 2);
    printf("The area is %f", A);
    return 0;
}

出力結果

The area is 14.095401