C言語：楕円内に内接する正方形に内接する最大のルーロー三角形の求め方

ルーロー三角形（Reuleaux triangle）とは、3つの円の共通部分から形成される図形です。各円の中心は、他の2つの円の境界上に位置しています。その境界は定幅曲線と呼ばれ、円以外では最も単純でよく知られている定幅曲線です。定幅とは、平行な2つの支持線の間隔が、その向きにかかわらず常に一定であることを意味します。

ルーロー三角形の境界は、正三角形に基づく定幅曲線です。一辺上のすべての点は、対向する頂点から等距離にあります。

ルーロー三角形の作図方法

正三角形の各頂点を中心として、他の2頂点を通る円弧を描くことで、ルーロー三角形を作図できます。

ルーロー三角形の面積公式

正三角形に基づく曲線で、三角形の一辺の長さを h とすると、ルーロー三角形の面積は次の式で表されます。

A = (π × h²) / 2 − 2 ×（正三角形の面積）= (π − √3) × h² / 2 = 0.70477 × h²

楕円内に内接する正方形に内接する最大のルーロー三角形

楕円内に内接する最大の正方形

正方形が楕円に内接する場合を考えます。

楕円の方程式は x²/a² + y²/b² = 1

x = y とおくと、

x²/a² + x²/b² = 1

したがって、

x = √(a² + b²)/ab

y = √(a² + b²)/ab

よって、この正方形の面積は A = 4(a² + b²)/a²b² となります。

正方形内の最大のルーロー三角形

ルーロー三角形の面積は 0.70477 × b² です。ここで b は、ルーロー三角形を支持する平行線間の距離です。

平行線間の距離は正方形の一辺、つまり a に等しいため、

ルーロー三角形の面積は A = 0.70477 × a² となります。

それでは、具体的な例を見てみましょう。

入力: a = 5, b = 4
出力: 0.0722389

説明

楕円内に内接する正方形の一辺は、x = √(a² + b²)/ab です。

ルーロー三角形については、h = x = √(a² + b²)/ab となります。

したがって、ルーロー三角形の面積は A = 0.70477 × h² = 0.70477 × ((a² + b²)/a²b²) です。

例（C言語プログラム）

#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main() {
    float a = 6, b = 8;
    float h = sqrt(((pow(a, 2) + pow(b, 2))/ (pow(a, 2) * pow(b, 2))));
    float area = 0.70477 * pow(h, 2);
    printf("The area is : %f", area);
    return 0;
}

出力

The area is : 0.030589