直角三角形に内接する正方形の中に収まる最大のルーロー三角形の面積を求める方法

この記事では、直角三角形に内接する正方形の中に描ける最大のルーロー三角形の面積を求める方法を解説します。

まず前提となる条件を整理しましょう。正方形の一辺の長さを「a」、ルーロー三角形の高さを「x」、外側の直角三角形の底辺を「b」、高さを「l」、斜辺を「h」とします。

なお、ルーロー三角形とは、正三角形の各頂点を中心として対向する頂点を通る円弧を3つ描くことで得られる図形です。どの方向から測っても幅が一定になる「定幅曲線」として知られており、その高さは生成元となる正三角形の一辺と等しくなります。

正方形の一辺の長さを求める

高さ l、底辺 b の直角三角形に内接する正方形の一辺 a は、相似比の関係から次の公式で表されます。

a = (l × b) / (l + b)

ルーロー三角形の面積を求める

ここで重要なのは、この問題におけるルーロー三角形の高さ x が、正方形の一辺 a と一致するという点です。つまり a = x が成り立ちます。

したがって、ルーロー三角形の面積は次の公式で計算できます。

面積 = ((π − √3) × a²) / 2

C++による実装例

上記の理論をもとに、実際にC++でプログラムを実装してみましょう。関数には直角三角形の高さ l と底辺 b を渡し、負の値が入力された場合は無効として -1 を返すようにしています。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

float areaReuleaux(float l, float b) {
    // l と b はそれぞれ直角三角形の高さと底辺
    if (l < 0 || b < 0) // 負の値が入力された場合は無効
        return -1;
    float a = (l * b) / (l + b); // 正方形の一辺を計算
    float area = ((3.1415 - sqrt(3)) * (a) * (a)) / 2; // ルーロー三角形の面積
    return area;
}

int main() {
    float l = 5;
    float b = 12;
    cout << "Area of Reuleaux Triangle: " << areaReuleaux(l, b);
}

実行結果

高さ l = 5、底辺 b = 12 の直角三角形を入力として与えた場合の出力は以下の通りです。

Area of Reuleaux Triangle: 8.77858

このように、直角三角形の寸法から内接する正方形の一辺を導き出し、それをルーロー三角形の高さとして面積公式に代入することで、目的の面積を簡単に求めることができます。