級数 2/3 − 4/5 + 6/7 − 8/9 + … の初項から第n項までの和を求める方法

級数（series）とは、何らかの共通の規則や法則に従って並べられた数の列のことを指します。数学には、特定の論理や公式によって定義されたさまざまな級数が存在します。

本記事で扱うのは、次のような符号が交互に入れ替わる級数です。

2/3 , −4/5 , 6/7 , −8/9 , ……

級数の一般項

この級数の一般項は、次の式で表すことができます。

(−1)ⁿ × (2n) / (2n + 1)

つまり、分子が偶数（2, 4, 6, 8…）、分母がその次の奇数（3, 5, 7, 9…）となり、正負の符号が1項ごとに交互に現れるのが特徴です。級数の和を求めるには、各項を順番に加算していきます。

2/3 − 4/5 + 6/7 − 8/9 + ……

計算例

具体例を見てみましょう。

入力：10
出力：−0.191921

この場合、第10項までの各項を足し合わせると次のようになります。

(2 / 3) − (4 / 5) + (6 / 7) − (8 / 9) + (10 / 11) − (12 / 13) + (14 / 15) − (16 / 17) + (18 / 19) − (20 / 21) = −0.191921

もう一つの例です。

入力：17
出力：0.77152

n = 17 の場合は17項分を計算し、その結果として 0.77152 が得られます。

C++による実装例

以下は、C++を使ってこの級数の和を求めるプログラムの例です。ループで各項を生成しながら、符号を交互に切り替えて加減算を行っています。

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
    int n = 17, i = 1;
    double res = 0.0;
    bool sign = true;
    while (n > 0) {
        n--;
        if (sign) {
            sign = !sign;
            res = res + (double)++i / ++i;
        } else {
            sign = !sign;
            res = res - (double)++i / ++i;
        }
    }
    cout << "与えられた級数の和は " << res;
    return 0;
}

実行結果

与えられた級数の和は 0.77152

解説

このプログラムでは、変数 i をインクリメントしながら分子と分母を順に生成し、ブール型変数 sign によって符号を管理しています。sign が true のときは項を加算し、false のときは減算することで、交互に現れる符号を再現しています。計算結果は double 型で保持されるため、小数点以下の精度も保たれます。