等差数列（AP）の交互符号付き平方級数の合計を求める方法

等差数列（AP）とは

等差数列（Arithmetic Progression：AP）とは、隣り合う項同士の差が常に一定である数列のことです。この一定の差は「公差」と呼ばれ、前項を基準にして隣の項を引くことで求められます。

具体例として、次の数列を見てみましょう。

5, 7, 9, 11, 13, 15, …

この等差数列の公差（d）は 2 です。つまり、各項は直前の項より必ず 2 大きくなっています。また、初項（a）は 5 です。

第 n 項を求めるための一般式は以下の通りです。

a_n = a + (n − 1) × d

問題の概要

本問題では、与えられた等差数列の各項を平方し、その符号を正と負で交互に付けた級数の合計を求めます。級数は次のような形になります。

a₁² − a₂² + a₃² − a₄² + a₅² − …

入力例と出力例

Input: n = 2
Output: -10

解説

n はペアの個数を表しており、n = 2 の場合は級数は 2n = 4 項で構成されます。初項 1・公差 1 の等差数列を用いると、計算は以下のようになります。

1² − 2² + 3² − 4² = −10

C言語による実装例

#include <stdio.h>
int main() {
    int n = 4;
    int a[] = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 };
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
        if (i % 2 == 0)
            res += a[i] * a[i];
        else
            res -= a[i] * a[i];
    }
    printf("The sum of series is %d", res);
    return 0;
}

実行結果

The sum of series is -36

コードのポイント

このプログラムでは、n = 4 として配列 a の先頭から 2n 個（8 個）の要素を順に処理します。ループ変数 i が偶数のときは a[i]² を加算し、奇数のときは減算することで、正負交互に符号が付いた平方の合計を実現しています。

実際の計算過程は次の通りです。

1² − 2² + 3² − 4² + 5² − 6² + 7² − 8² = 1 − 4 + 9 − 16 + 25 − 36 + 49 − 64 = −36

各要素を一度だけ走査するため、このアルゴリズムの時間計算量は O(n) となり、非常に効率的です。さらに、偶数番目と奇数番目のペアごとに (a₂ₖ₋₁² − a₂ₖ²) をまとめて計算すれば、オーバーフロー対策や最適化にも応用できます。