Pythonで複素数の点配列を使って指定した次数のファンデルモンド行列を生成する方法

PythonのNumPyでは、numpy.polynomial.polynomialモジュールに含まれるpolyvander()関数を使用することで、指定した次数のファンデルモンド行列（Vandermonde行列）を簡単に生成できます。この関数は、入力された点の配列に対するファンデルモンド行列を返します。

戻り値となる行列の形状は x.shape + (deg + 1,) であり、最後のインデックスがxの冪乗（べきじょう）に対応します。また、データ型（dtype）は変換後のxと同じものが使用されます。

polyvander()関数のパラメータ

• a：点の配列です。要素に複素数が含まれる場合はcomplex128、含まれない場合はfloat64に型変換されます。スカラー値が渡された場合は1次元配列に変換されます。
• deg：生成される行列の次数を指定します。

実行手順

まず、必要なライブラリをインポートします。

import numpy as np
from numpy.polynomial.polynomial import polyvander

次に、複素数を含む点の配列を作成します。

x = np.array([-2.+2.j, -1.+2.j, 0.+2.j, 1.+2.j, 2.+2.j])

作成した配列を表示してみましょう。

print("Our Array...\n",x)

配列の次元数を確認します。

print("\nDimensions of our Array...\n",x.ndim)

配列のデータ型を確認します。

print("\nDatatype of our Array object...\n",x.dtype)

配列の形状を確認します。

print("\nShape of our Array object...\n",x.shape)

ここで、polyvander()関数を使って指定した次数のファンデルモンド行列を生成します。以下の例では次数2を指定しています。

print("\nResult...\n",polyvander(x, 2))

完全なサンプルコード

import numpy as np
from numpy.polynomial.polynomial import polyvander

# 配列を作成
x = np.array([-2.+2.j, -1.+2.j, 0.+2.j, 1.+2.j, 2.+2.j])

# 配列を表示
print("Our Array...\n",x)

# 次元数を確認
print("\nDimensions of our Array...\n",x.ndim)

# データ型を確認
print("\nDatatype of our Array object...\n",x.dtype)

# 形状を確認
print("\nShape of our Array object...\n",x.shape)

# 指定した次数のファンデルモンド行列を生成
print("\nResult...\n",polyvander(x, 2))

実行結果

Our Array...
[-2.+2.j -1.+2.j 0.+2.j 1.+2.j 2.+2.j]

Dimensions of our Array...
1

Datatype of our Array object...
complex128

Shape of our Array object...
(5,)

Result...
[[ 1.+0.j -2.+2.j 0.-8.j]
 [ 1.+0.j -1.+2.j -3.-4.j]
 [ 1.+0.j 0.+2.j -4.+0.j]
 [ 1.+0.j 1.+2.j -3.+4.j]
 [ 1.+0.j 2.+2.j 0.+8.j]]

このように、複素数を含む点の配列からでも問題なくファンデルモンド行列を生成できることが確認できます。出力結果を見ると、各行は対応する点xについて「x⁰、x¹、x²」の値を並べたものになっています。ファンデルモンド行列は多項式補間や最小二乗近似などの数値計算で広く活用される重要な行列です。