Python NumPyで複素数点配列からチェビシェフ多項式のファンデルモンド行列を生成する方法

PythonのNumPyライブラリでは、chebyshev.chebvander()関数を使用することで、チェビシェフ多項式のファンデルモンド行列を簡単に生成できます。この関数は、指定した点の配列と次数をもとに、チェビシェフ多項式のファンデルモンド行列を返します。

戻り値となる行列の形状は x.shape + (deg + 1,) であり、最後のインデックスは対応するチェビシェフ多項式の次数を表します。また、dtypeは変換後のxと同じになります。

パラメータについて

• x（点の配列）: 点の配列を指定します。要素に複素数が含まれる場合はcomplex128に、そうでない場合はfloat64に変換されます。スカラー値が渡された場合は1次元配列に変換されます。
• deg（次数）: 結果として得られる行列の次数を指定します。

実装手順

まず、必要なライブラリをインポートします。

import numpy as np
from numpy.polynomial import chebyshev as C

複素数を含む配列を作成します。

x = np.array([-2.+2.j, -1.+2.j, 0.+2.j, 1.+2.j, 2.+2.j])

配列を表示します。

print("Our Array...\n",x)

配列の次元を確認します。

print("\nDimensions of our Array...\n",x.ndim)

データ型を確認します。

print("\nDatatype of our Array object...\n",x.dtype)

形状を確認します。

print("\nShape of our Array object...\n",x.shape)

chebyshev.chebvander()を使って、チェビシェフ多項式のファンデルモンド行列を生成します。

print("\nResult...\n",C.chebvander(x, 2))

完全なコード例

import numpy as np
from numpy.polynomial import chebyshev as C

# 配列を作成
x = np.array([-2.+2.j, -1.+2.j, 0.+2.j, 1.+2.j, 2.+2.j])

# 配列を表示
print("Our Array...\n",x)

# 次元を確認
print("\nDimensions of our Array...\n",x.ndim)

# データ型を確認
print("\nDatatype of our Array object...\n",x.dtype)

# 形状を確認
print("\nShape of our Array object...\n",x.shape)

# chebyshev.chebvander()でチェビシェフ多項式のファンデルモンド行列を生成
# 戻り値はファンデルモンド行列。形状は x.shape + (deg + 1,) となり、
# 最後のインデックスは対応するチェビシェフ多項式の次数を表す。
# dtypeは変換後のxと同じになる。
# パラメータxは点の配列。要素が複素数の場合はcomplex128、
# それ以外はfloat64に変換される。スカラー値の場合は1次元配列に変換される。
# パラメータdegは結果の行列の次数。
print("\nResult...\n",C.chebvander(x, 2))

出力結果

Our Array...
[-2.+2.j -1.+2.j 0.+2.j 1.+2.j 2.+2.j]

Dimensions of our Array...
1

Datatype of our Array object...
complex128

Shape of our Array object...
(5,)

Result...
[[ 1. +0.j -2. +2.j -1.-16.j]
[ 1. +0.j -1. +2.j -7. -8.j]
[ 1. +0.j 0. +2.j -9. +0.j]
[ 1. +0.j 1. +2.j -7. +8.j]
[ 1. +0.j 2. +2.j -1.+16.j]]

結果の解説

入力配列には複素数が含まれているため、dtypeはcomplex128に自動的に変換されています。また、次数として2を指定したため、結果の行列は各点に対して3列（T₀(x)、T₁(x)、T₂(x)）を持つ形状 (5, 3) になっています。第1列は常に1（T₀）、第2列は元の点の値そのもの（T₁）、第3列は再帰関係 T₂(x) = 2x² − 1 から計算された値（T₂）です。