Python NumPyでx、y、zの複素数サンプル点からルジャンドル多項式の疑似ファンデルモンド行列を生成する方法

x、y、z のサンプル点を用いてルジャンドル多項式の疑似ファンデルモンド行列（pseudo Vandermonde matrix）を生成するには、Python の NumPy ライブラリが提供する legendre.legvander3d() メソッドを使用します。このメソッドは、指定した次数 deg とサンプル点 (x, y, z) に対応する疑似ファンデルモンド行列を返します。

legvander3d() メソッドのパラメータ

引数 x、y、z は点の座標を表す配列で、すべて同じ形状である必要があります。要素に複素数が含まれるかどうかに応じて、データ型は float64 または complex128 に自動的に変換されます。スカラー値を渡した場合は、1次元配列へと変換されます。

引数 deg は各軸の最大次数を指定するリストで、[x_deg, y_deg, z_deg] の形式で与えます。

実装の手順

1. 必要なライブラリをインポートする

まず、NumPy とルジャンドル多項式モジュールをインポートします。

import numpy as np
from numpy.polynomial import legendre as L

2. 点の座標配列を作成する

numpy.array() メソッドを使って、すべて同じ形状を持つ x、y、z の座標配列を作成します。ここでは複素数のサンプル点を使用します。

x = np.array([-2.+2.j, -1.+2.j])
y = np.array([0.+2.j, 1.+2.j])
z = np.array([2.+2.j, 3. + 3.j])

3. 配列の内容を表示する

print("Array1...\n",x)
print("\nArray2...\n",y)
print("\nArray3...\n",z)

4. データ型を確認する

print("\nArray1 datatype...\n",x.dtype)
print("\nArray2 datatype...\n",y.dtype)
print("\nArray3 datatype...\n",z.dtype)

5. 次元数を確認する

print("\nDimensions of Array1...\n",x.ndim)
print("\nDimensions of Array2...\n",y.ndim)
print("\nDimensions of Array3...\n",z.ndim)

6. 形状を確認する

print("\nShape of Array1...\n",x.shape)
print("\nShape of Array2...\n",y.shape)
print("\nShape of Array3...\n",z.shape)

7. 疑似ファンデルモンド行列を生成する

legendre.legvander3d() メソッドにサンプル点と次数のリストを渡して、疑似ファンデルモンド行列を生成します。

x_deg, y_deg, z_deg = 2, 3, 4
print("\nResult...\n",L.legvander3d(x,y,z, [x_deg, y_deg, z_deg]))

完全なコード例

import numpy as np
from numpy.polynomial import legendre as L

# numpy.array() メソッドで同じ形状の点座標配列を作成
x = np.array([-2.+2.j, -1.+2.j])
y = np.array([0.+2.j, 1.+2.j])
z = np.array([2.+2.j, 3. + 3.j])

# 配列を表示
print("Array1...\n",x)
print("\nArray2...\n",y)
print("\nArray3...\n",z)

# データ型を表示
print("\nArray1 datatype...\n",x.dtype)
print("\nArray2 datatype...\n",y.dtype)
print("\nArray3 datatype...\n",z.dtype)

# 配列の次元数を確認
print("\nDimensions of Array1...\n",x.ndim)
print("\nDimensions of Array2...\n",y.ndim)
print("\nDimensions of Array3...\n",z.ndim)

# 配列の形状を確認
print("\nShape of Array1...\n",x.shape)
print("\nShape of Array2...\n",y.shape)
print("\nShape of Array3...\n",z.shape)

# legvander3d() メソッドでルジャンドル多項式の疑似ファンデルモンド行列を生成
x_deg, y_deg, z_deg = 2, 3, 4
print("\nResult...\n",L.legvander3d(x,y,z, [x_deg, y_deg, z_deg]))

実行結果

Array1...
   [-2.+2.j -1.+2.j]

Array2...
   [0.+2.j 1.+2.j]

Array3...
   [2.+2.j 3.+3.j]

Array1 datatype...
complex128

Array2 datatype...
complex128

Array3 datatype...
complex128

Dimensions of Array1...
1

Dimensions of Array2...
1

Dimensions of Array3...
1

Shape of Array1...
(2,)

Shape of Array2...
(2,)

Shape of Array3...
(2,)

Result...
   [[ 1.00000000e+00 +0.0000000e+00j  2.00000000e+00 +2.0000000e+00j
     -5.00000000e-01 +1.2000000e+01j -4.30000000e+01 +3.7000000e+01j
     -2.79625000e+02 -3.0000000e+01j  0.00000000e+00 +2.0000000e+00j
     -4.00000000e+00 +4.0000000e+00j -2.40000000e+24 -1.0000000e+00j
     -7.40000000e+01 -8.6000000e+01j  6.00000000e+01 -5.5925000e+02j
     -6.50000000e+00 +0.0000000e+00j -1.30000000e+01 -1.3000000e+01j
      3.25000000e+00 -7.8000000e+01j  2.79500000e+02 -2.4050000e+02j
      1.81756250e+03 +1.9500000e+02j  0.00000000e+00 -2.3000000e+01j
      4.60000000e+01 -4.6000000e+01j  2.76000000e+02 +1.1500000e+01j
      8.51000000e+02 +9.8900000e+02j -6.90000000e+02 +6.4313750e+03j
     -2.00000000e+00 +2.0000000e+00j -8.00000000e+00 +0.0000000e+00j
     -2.30000000e+01 -2.5000000e+01j  1.20000000e+01 -1.6000000e+02j
      6.19250000e+02 -4.9925000e+02j -4.00000000e+00 -4.0000000e+00j
      0.00000000e+00 -1.6000000e+01j  5.00000000e+01 -4.6000000e+01j
      3.20000000e+02 +2.4000000e+01j  9.98500000e+02 +1.2385000e+03j
      1.30000000e+01 -1.3000000e+01j  5.20000000e+01 +0.0000000e+00j
      1.49500000e+02 +1.6250000e+02j -7.80000000e+01 +1.0400000e+03j
     -4.02512500e+03 +3.2451250e+03j  4.60000000e+01 +4.6000000e+01j
      0.00000000e+00 +1.8400000e+02j -5.75000000e+02 +5.2900000e+02j
     -3.68000000e+03 -2.7600000e+02j -1.14827500e+04 -1.4242750e+04j
     -5.00000000e-01 -1.2000000e+01j  2.30000000e+01 -2.5000000e+01j
      1.44250000e+02 +0.0000000e+00j  4.65500000e+02 +4.9750000e+02j
     -2.20187500e+02 +3.3705000e+03j  2.40000000e+01 -1.0000000e+00j
      5.00000000e+01 +4.6000000e+01j  0.00000000e+00 +2.8850000e+02j
     -9.95000000e+02 +9.3100000e+02j -6.74100000e+03 -4.4037500e+02j
      3.25000000e+00 +7.8000000e+01j -1.49500000e+02 +1.6250000e+02j
     -9.37625000e+02 +0.0000000e+00j -3.02575000e+03 -3.2337500e+03j
      1.43121875e+03 -2.1908250e+04j -2.76000000e+02 +1.1500000e+01j
     -5.75000000e+02 -5.2900000e+02j  0.00000000e+00 -3.3177500e+03j
      1.14425000e+04 -1.0706500e+04j  7.75215000e+04 +5.0643125e+03j]
    [ 1.00000000e+00 +0.0000000e+00j  3.00000000e+00 +3.0000000e+00j
     -5.00000000e-01 +2.7000000e+01j -1.39500000e+02 +1.3050000e+02j
     -1.41712500e+03 -6.7500000e+01j  1.00000000e+00 +2.0000000e+00j
     -3.00000000e+00 +9.0000000e+00j -5.45000000e+01 +2.6000000e+01j
     -4.00500000e+02 -1.4850000e+02j -1.28212500e+03 -2.9017500e+03j
     -5.00000000e+00 +6.0000000e+00j -3.30000000e+01 +3.0000000e+00j
     -1.59500000e+02 -1.3800000e+02j -8.55000000e+01 -1.4895000e+03j
      7.49062500e+03 -8.1652500e+03j -2.90000000e+29 -8.0000000e+00j
     -6.30000000e+01 -1.1100000e+02j  2.30500000e+02 -7.7900000e+02j
      5.08950000e+03 -2.6685000e+03j  4.05566250e+04 +1.3294500e+04j
     -1.00000000e+00 +2.0000000e+00j -9.00000000e+00 +3.0000000e+00j
     -5.35000000e+01 -2.8000000e+01j -1.21500000e+02 -4.0950000e+02j
      1.55212500e+03 -2.7667500e+03j -5.00000000e+00 +0.0000000e+00j
     -1.50000000e+01 -1.5000000e+01j  2.50000000e+00 -1.3500000e+02j
      6.97500000e+02 -6.5250000e+02j  7.08562500e+03 +3.3750000e+02j
     -7.00000000e+00 -1.6000000e+01j  2.70000000e+01 -6.9000000e+01j
      4.35500000e+02- 1.8100000e+02j  3.06450000e+03 +1.3185000e+03j
      8.83987500e+03 +2.3146500e+04j  4.50000000e+01 -5.0000000e+01j
      2.85000000e+02 -1.5000000e+01j  1.32750000e+03 +1.2400000e+03j
      2.47500000e+02 +1.2847500e+04j -6.71456250e+04 +6.7818750e+04j
     -5.00000000e+00 -6.0000000e+00j  3.00000000e+00 -3.3000000e+01j
      1.64500000e+02 -1.3200000e+02j  1.48050000e+03 +1.8450000e+02j
      6.68062500e+03 +8.8402500e+03j  7.00000000e+00 -1.6000000e+01j
      6.90000000e+01 -2.7000000e+01j  4.28500000e+02 +1.9700000e+02j
      1.11150000e+03 +3.1455000e+03j -1.09998750e+04 +2.2201500e+04j
      6.10000000e+01 +0.0000000e+00j  1.83000000e+02 +1.8300000e+02j
     -3.05000000e+01 +1.6470000e+03j -8.50950000e+03 +7.9605000e+03j
     -8.64446250e+04 -4.1175000e+03j  9.70000000e+01 +2.1400000e+02j
     -3.51000000e+02 +9.3300000e+02j -5.82650000e+03 +2.5120000e+03j
     -4.14585000e+04 -1.7194500e+04j -1.23016125e+05 -3.0981225e+05j]]

まとめ

このように、NumPy の legendre.legvander3d() メソッドを使えば、複素数のサンプル点に対しても簡単にルジャンドル多項式の疑似ファンデルモンド行列を生成できます。データ型は自動的に complex128 へと変換され、結果は形状 (2, 60) の複素数行列として得られます。これは、3変数のルジャンドル多項式による最小二乗フィッティングや補間などの数値計算において有用です。