Pythonで点の複素配列を使用してエルミート多項式のファンデルモンド行列を生成する方法

エルミートE多項式（Hermite_e）のファンデルモンド行列を生成するには、PythonのNumPyが提供する numpy.polynomial.hermite_e.hermevander() 関数を使用します。この関数は擬似ファンデルモンド行列を返し、その形状は x.shape + (deg + 1,) となります。最後のインデックスは対応するエルミート多項式の次数を表し、返される行列のデータ型（dtype）は入力配列 x の変換後の型と一致します。

パラメータの説明

• x: 点の配列。要素に複素数が含まれる場合は complex128、含まれない場合は float64 に自動的に変換されます。スカラー値が渡された場合には1次元配列へと変換されます。
• deg: 生成される行列の次数。

実行手順

ステップ1：必要なライブラリをインポートする

import numpy as np
from numpy.polynomial import hermite_e as H

ステップ2：複素数の点配列を作成する

x = np.array([-2.+2.j, -1.+2.j, 0.+2.j, 1.+2.j, 2.+2.j])

ステップ3：配列の情報を表示・確認する

# 配列を表示
print("Our Array...\n",x)

# 次元を確認
print("\nDimensions of our Array...\n",x.ndim)

# データ型を取得
print("\nDatatype of our Array object...\n",x.dtype)

# 形状を取得
print("\nShape of our Array object...\n",x.shape)

ステップ4：hermevander() でファンデルモンド行列を生成する

print("\nResult...\n",H.hermevander(x, 2))

完全なコード例

import numpy as np
from numpy.polynomial import hermite_e as H

# 複素数の点配列を作成
x = np.array([-2.+2.j, -1.+2.j, 0.+2.j, 1.+2.j, 2.+2.j])

# 配列を表示
print("Our Array...\n",x)

# 次元を確認
print("\nDimensions of our Array...\n",x.ndim)

# データ型を取得
print("\nDatatype of our Array object...\n",x.dtype)

# 形状を取得
print("\nShape of our Array object...\n",x.shape)

# hermevander() を使ってエルミートE多項式のファンデルモンド行列を生成
print("\nResult...\n",H.hermevander(x, 2))

出力結果

Our Array...
   [-2.+2.j -1.+2.j 0.+2.j 1.+2.j 2.+2.j]

Dimensions of our Array...
1

Datatype of our Array object...
complex128

Shape of our Array object...
(5,)

Result...
   [[ 1.+0.j -2.+2.j -1.-8.j]
   [ 1.+0.j -1.+2.j -4.-4.j]
   [ 1.+0.j 0.+2.j -5.+0.j]
   [ 1.+0.j 1.+2.j -4.+4.j]
   [ 1.+0.j 2.+2.j -1.+8.j]]

結果の解説

入力配列は複素数を含むため、データ型は自動的に complex128 に変換されていることがわかります。また、次数 deg=2 を指定したため、出力行列の形状は (5, 3) となっています。

結果の行列では、各行が入力された各点に対応し、各列はそれぞれエルミートE多項式 He₀(x) = 1、He₁(x) = x、He₂(x) = x² − 1 の評価値を表しています。例えば最初の点 x = −2+2j に対しては、He₂(−2+2j) = (−2+2j)² − 1 = −1−8j となり、出力結果と一致します。

このように hermevander() を使うことで、複素数の点集合に対してもエルミートE多項式による最小二乗近似や補間などに必要な設計行列を簡単に構築できます。