Pythonでエルミート多項式とx・y・z複素数サンプル点から疑似ファンデルモンド行列を生成する方法

エルミート多項式（Hermite_e）と x、y、z のサンプル点から疑似ファンデルモンド行列を生成するには、Python の NumPy が提供する hermite_e.hermevander3d() メソッドを使用します。このメソッドは計算結果として疑似ファンデルモンド行列を返します。

パラメータ x、y、z は点の座標を表す配列であり、すべて同じ形状（shape）である必要があります。要素に複素数が含まれる場合は complex128、含まれない場合は float64 に dtype が変換されます。スカラー値を渡した場合も、自動的に1次元配列へ変換されます。また、パラメータ deg は [x_deg, y_deg, z_deg] の形式で各次元の最大次数を指定するリストです。

手順

まず、必要なライブラリをインポートします。

import numpy as np
from numpy.polynomial import hermite_e as H

numpy.array() メソッドを使って、すべて同じ形状となる点座標の配列を作成します。

x = np.array([-2.+2.j, -1.+2.j])
y = np.array([0.+2.j, 1.+2.j])
z = np.array([2.+2.j, 3. + 3.j])

配列を表示して確認します。

print("Array1...\n",x)
print("\nArray2...\n",y)
print("\nArray3...\n",z)

配列のデータ型を確認します。

print("\nArray1 datatype...\n",x.dtype)
print("\nArray2 datatype...\n",y.dtype)
print("\nArray3 datatype...\n",z.dtype)

配列の次元数を確認します。

print("\nDimensions of Array1...\n",x.ndim)
print("\nDimensions of Array2...\n",y.ndim)
print("\nDimensions of Array3...\n",z.ndim)

配列の形状を確認します。

print("\nShape of Array1...\n",x.shape)
print("\nShape of Array2...\n",y.shape)
print("\nShape of Array3...\n",z.shape)

エルミート多項式（Hermite_e）と x、y、z のサンプル点から疑似ファンデルモンド行列を生成するために、hermite_e.hermevander3d() メソッドを呼び出します。

x_deg, y_deg, z_deg = 2, 3, 4
print("\nResult...\n",H.hermevander3d(x,y,z, [x_deg, y_deg, z_deg]))

完全なサンプルコード

以下に、ここまでの手順をまとめた実行可能なコード例を示します。

import numpy as np
from numpy.polynomial import hermite_e as H

# numpy.array() メソッドを使って、同じ形状の点座標配列を作成
x = np.array([-2.+2.j, -1.+2.j])
y = np.array([0.+2.j, 1.+2.j])
z = np.array([2.+2.j, 3. + 3.j])

# 配列を表示
print("Array1...\n",x)
print("\nArray2...\n",y)
print("\nArray3...\n",z)

# データ型を表示
print("\nArray1 datatype...\n",x.dtype)
print("\nArray2 datatype...\n",y.dtype)
print("\nArray3 datatype...\n",z.dtype)

# 次元数を確認
print("\nDimensions of Array1...\n",x.ndim)
print("\nDimensions of Array2...\n",y.ndim)
print("\nDimensions of Array3...\n",z.ndim)

# 形状を確認
print("\nShape of Array1...\n",x.shape)
print("\nShape of Array2...\n",y.shape)
print("\nShape of Array3...\n",z.shape)

# hermite_e.hermevander3d() を使って疑似ファンデルモンド行列を生成
x_deg, y_deg, z_deg = 2, 3, 4
print("\nResult...\n",H.hermevander3d(x,y,z, [x_deg, y_deg, z_deg]))

実行結果

上記のコードを実行すると、以下のような出力が得られます。入力配列はすべて complex128 型の1次元配列（形状 (2,)）であり、結果として 2×60 の複素数疑似ファンデルモンド行列が出力されます。

Array1...
   [-2.+2.j -1.+2.j]

Array2...
   [0.+2.j 1.+2.j]
   
Array3...
   [2.+2.j 3.+3.j]

Array1 datatype...
complex128

Array2 datatype...
complex128

Array3 datatype...
complex128

Dimensions of Array1...
1

Dimensions of Array2...
1

Dimensions of Array3...
1

Shape of Array1...
(2,)

Shape of Array2...
(2,)

Shape of Array3...
(2,)

Result...
   [[ 1.0000e+00 +0.000e+00j 2.0000e+00 +2.000e+00j  -1.0000e+00  +8.000e+00j
     -2.2000e+01 +1.000e+01j -6.1000e+01-4.800e+01j   0.0000e+00  +2.000e+00j
     -4.0000e+00 +4.000e+00j -1.6000e+01-2.000e+00j  -2.0000e+01 -4.400e+01j
      9.6000e+01 -1.220e+02j -5.0000e+00+0.000e+00j  -1.0000e+10 -1.000e+01j
      5.0000e+00 -4.000e+01j  1.1000e+02 -5.000e+01j  3.0500e+02 +2.400e+02j
      0.0000e+00 -1.400e+01j  2.8000e+01 -2.800e+01j  1.1200e+02 +1.400e+01j
      1.4000e+02 +3.080e+02j -6.7200e+02 +8.540e+02j -2.0000e+00 +2.000e+00j
     -8.0000e+00 +0.000e+00j -1.4000e+01 -1.800e+01j  2.4000e+01 -6.400e+01j
      2.1800e+02 -2.600e+01j -4.0000e+00 -4.000e+00j  0.0000e+00 -1.600e+01j
      3.6000e+01 -2.800e+01j  1.2800e+02 +4.800e+01j  5.2000e+01 +4.360e+02j
      1.0000e+01 -1.000e+01j  4.0000e+01 +0.000e+00j  7.0000e+01 +9.000e+01j
     -1.2000e+02 +3.200e+02j -1.0900e+03 +1.300e+02j  2.8000e+01 +2.800e+01j
      0.0000e+00 +1.120e+02j -2.5200e+02 +1.960e+02j -8.9600e+02 -3.360e+02j
     -3.6400e+02 -3.052e+03j -1.0000e+00 -8.000e+00j  1.4000e+01 -1.800e+01j
      6.5000e+01 +0.000e+00j  1.0200e+02 +1.660e+02j -3.2300e+02 +5.360e+02j
      1.6000e+16 -2.000e+00j  3.6000e+01 +2.800e+01j  0.0000e+00 +1.300e+02j
     -3.3200e+02 +2.040e+02j -1.0720e+03 -6.460e+02j  5.0000e+00 +4.000e+01j
     -7.0000e+01 +9.000e+01j -3.2500e+02 +0.000e+00j -5.1000e+02 -8.300e+02j
      1.6150e+03 -2.680e+03j -1.1200e+02 +1.400e+01j -2.5200e+02 -1.960e+02j
      0.0000e+00 -9.100e+02j  2.3240e+03 -1.428e+03j  7.5040e+03 +4.522e+03j]
    [ 1.0000e+00 +0.000e+00j  3.0000e+00 +3.000e+00j -1.0000e+00 +1.800e+01j
     -6.3000e+01 +4.500e+01j -3.2100e+02 -1.080e+02j  1.0000e+00 +2.000e+00j
     -3.0000e+00 +9.000e+00j -3.7000e+01 +1.600e+01j -1.5300e+02 -8.100e+01j
     -1.0500e+02 -7.500e+02j -4.0000e+00 +4.000e+00j -2.4000e+01 +0.000e+00j
     -6.8000e+01 -7.600e+01j  7.2000e+01 -4.320e+02j  1.7160e+03 -8.520e+02j
     -1.4000e+01 -8.000e+00j -1.8000e+01 -6.600e+01j  1.5800e+02 -2.440e+02j
     1.2420e+03  -1.260e+02j  3.6300e+03 +4.080e+03j -1.0000e+00 +2.000e+00j
    -9.0000e+00  +3.000e+00j -3.5000e+01 -2.000e+01j -2.7000e+01 -1.710e+02j
     5.3700e+02 -5.340e+02j  -5.0000e+00 +0.000e+00j -1.5000e+15 -1.500e+01j
     5.0000e+00 -9.000e+01j   3.1500e+02 -2.250e+02j  1.6050e+03 +5.400e+02j
    -4.0000e+00 -1.200e+01j   2.4000e+01 -4.800e+01j  2.2000e+02 -6.000e+01j
     7.9200e+02 +5.760e+02j  -1.2000e+01 +4.284e+03j  3.0000e+01 -2.000e+01j
     1.5000e+02 +3.000e+01j   3.3000e+02 +5.600e+02j -9.9000e+02  +2.610e+03j
    -1.1790e+04 +3.180e+03j  -4.0000e+00 -4.000e+00j  0.0000e+00  -2.400e+01j
     7.6000e+01 -6.800e+01j   4.3200e+02 +7.200e+01j  8.5200e+02  +1.716e+03j
     4.0000e+00 -1.200e+01j   4.8000e+01 -2.400e+01j  2.1200e+02  +8.400e+01j
     2.8800e+02 +9.360e+02j  -2.5800e+03 +3.420e+03j  3.2000e+32  +0.000e+00j
     9.6000e+01 +9.600e+01j  -3.2000e+01 +5.760e+02j -2.0160e+03  +1.440e+03j
   -1.0272e+04 -3.456e+03j   2.4000e+01  +8.800e+01j -1.9200e+02  +3.360e+02j
   -1.6080e+03 +3.440e+02j  -5.4720e+03  -4.464e+03j  1.8000e+03  -3.084e+04j]]

まとめ

numpy.polynomial.hermite_e.hermevander3d() を使うことで、3次元の複素数サンプル点に対するエルミート多項式の疑似ファンデルモンド行列を簡単に生成できます。最大次数を [x_deg, y_deg, z_deg] として指定するだけで、各点におけるエルミート多項式の値を成分にもつ行列が得られ、多項式フィッティングなどの数値計算に活用できます。