Pythonで複素数の点配列を使ってエルミート多項式のファンデルモンド行列を生成する方法

PythonのNumPyでエルミート多項式のファンデルモンド行列（Vandermonde行列）を生成するには、numpy.polynomial.hermite モジュールの hermvander() 関数を使用します。この関数は擬似ファンデルモンド行列を返します。

返される行列の形状は x.shape + (deg + 1,) となり、最後のインデックスは対応するエルミート多項式の次数を表します。また、dtypeは変換後の入力配列xと同じ型になります。

各パラメータの意味は以下の通りです。

• x： 点の配列です。要素に複素数が含まれる場合は complex128 に、含まれない場合は float64 に自動的に変換されます。スカラー値を指定した場合は1次元配列に変換されます。
• deg： 結果として得られる行列の次数です。

実行手順

まず、必要なライブラリをインポートします。

import numpy as np
from numpy.polynomial import hermite as H

複素数を含む配列を作成します。

x = np.array([-2.+2.j, -1.+2.j, 0.+2.j, 1.+2.j, 2.+2.j])

作成した配列を表示します。

print("Our Array...\n",x)

配列の次元を確認します。

print("\nDimensions of our Array...\n",x.ndim)

配列のデータ型を取得します。

print("\nDatatype of our Array object...\n",x.dtype)

配列の形状を取得します。

print("\nShape of our Array object...\n",x.shape)

エルミート多項式のファンデルモンド行列を生成するには、hermvander() を呼び出します。ここでは次数2を指定しています。

print("\nResult...\n",H.hermvander(x, 2))

コード例全体

import numpy as np
from numpy.polynomial import hermite as H

# 配列を作成
x = np.array([-2.+2.j, -1.+2.j, 0.+2.j, 1.+2.j, 2.+2.j])

# 配列を表示
print("Our Array...\n",x)

# 次元を確認
print("\nDimensions of our Array...\n",x.ndim)

# データ型を取得
print("\nDatatype of our Array object...\n",x.dtype)

# 形状を取得
print("\nShape of our Array object...\n",x.shape)

# エルミート多項式のファンデルモンド行列を生成
print("\nResult...\n",H.hermvander(x, 2))

実行結果

Our Array...
    [-2.+2.j -1.+2.j 0.+2.j 1.+2.j 2.+2.j]

Dimensions of our Array...
1

Datatype of our Array object...
complex128

Shape of our Array object...
(5,)

Result...
    [[ 1. +0.j -4. +4.j -2.-32.j]
    [ 1. +0.j -2. +4.j -14.-16.j]
    [ 1. +0.j 0. +4.j -18. +0.j]
    [ 1. +0.j 2. +4.j -14.+16.j]
    [ 1. +0.j 4. +4.j -2.+32.j]]

このように、入力配列に複素数が含まれているため、データ型は自動的に complex128 に変換され、各行が各点におけるエルミート多項式（H₀、H₁、H₂）の値を表す擬似ファンデルモンド行列が得られます。