Python NumPyのhermite.hermfit()でデータにエルミート級数の最小二乗フィットを適用する方法

エルミート級数の最小二乗フィットとは

データに対してエルミート級数の最小二乗フィットを求めるには、PythonのNumPyが提供する hermite.hermfit() メソッドを使用します。このメソッドは、低次から高次の順に並べられたエルミート係数を返します。また、yが2次元配列の場合、yのk列目のデータに対応する係数は、戻り値のk列目に格納されます。

主なパラメータ

x： M個のサンプル点 (x[i], y[i]) のx座標です。
y： サンプル点のy座標です。同じx座標を共有する複数組のサンプル点は、1つのデータセットを1列として含む2次元配列をyに渡すことで、1回の呼び出しでそれぞれ独立にフィットできます。
deg： フィッティング多項式の次数です。単一の整数を指定した場合、deg次までのすべての項がフィットに含まれます。
rcond： フィットの相対条件数です。最大特異値と比べてrcondより小さい特異値は無視されます。デフォルト値は len(x)*eps で、epsはプラットフォームの浮動小数点型の相対精度（ほとんどの場合約2e-16）です。
full： 戻り値の内容を切り替えるフラグです。False（デフォルト）の場合は係数のみを返し、Trueの場合は特異値分解による診断情報も併せて返します。
w： 重みです。None以外を指定した場合、重み w[i] は x[i] における残差 y[i] - ŷ[i] に適用されます。理想的には、w[i]*y[i] の積の誤差がすべて同じ分散を持つように重みを選択します。逆分散による重み付けでは w[i] = 1/sigma(y[i]) を使用します。デフォルト値はNoneです。

実装手順

まず、必要なライブラリをインポートします。

import numpy as np
from numpy.polynomial import hermite as H

x座標を生成します。

x = np.linspace(-1,1,51)

x座標を表示します。

print("X Co-ordinate...\n",x)

y座標を生成します。ここでは3次関数にランダムなノイズを加えたデータを使用します。

y = x**3 - x + np.random.randn(len(x))
print("\nY Co-ordinate...\n",y)

hermite.hermfit()メソッドを使って、データにエルミート級数の最小二乗フィットを適用します。full=Trueを指定することで、診断情報も同時に取得できます。

c, stats = H.hermfit(x,y,3,full=True)
print("\nResult...\n",c)
print("\nResult...\n",stats)

コード例全体

import numpy as np
from numpy.polynomial import hermite as H

# x座標の生成
x = np.linspace(-1,1,51)

# x座標の表示
print("X Co-ordinate...\n",x)

# ノイズを加えたy座標の生成
y = x**3 - x + np.random.randn(len(x))
print("\nY Co-ordinate...\n",y)

# エルミート級数の最小二乗フィットを実行
c, stats = H.hermfit(x,y,3,full=True)

# 結果の表示
print("\nResult...\n",c)

print("\nResult...\n",stats)

実行結果

X Co-ordinate...
    [-1. -0.96 -0.92 -0.88 -0.84 -0.8 -0.76 -0.72 -0.68 -0.64 -0.6 -0.56
     -0.52 -0.48 -0.44 -0.4 -0.36 -0.32 -0.28 -0.24 -0.2 -0.16 -0.12 -0.08
     -0.04 0. 0.04 0.08 0.12 0.16 0.2 0.24 0.28 0.32 0.36 0.4
     0.44 0.48 0.52 0.56 0.6 0.64 0.68 0.72 0.76 0.8 0.84 0.88
     0.92 0.96 1. ]

Y Co-ordinate...
    [-1.54632387  1.51958929  1.97346067  1.17759858  0.18851406 -0.43906085
    -0.18878755 -0.25952276 -0.10422342  0.17851603  0.12145051  1.42408375
     0.87115462 -1.03677161  1.01691995  0.45143153 -2.11382606  0.92466707
    -0.04160743  0.9302213   1.19532222  1.69238045  1.63260027 -0.38037316
     1.57013958  0.50920773 -0.19218013 -1.104298    0.10788693  0.68370213
     0.7219109   1.28598447 -0.92218973 -0.11028072 -0.49917013 -1.44008132
    -1.51616162 -0.80578712  1.47099231 -0.79775329 -1.0606385  -0.59517496
    -0.32977967  1.04847432 -2.1621314  -0.40009103 -0.84519     0.06397194
    -2.03655702 -0.28429534  0.47013787]

Result...
    [-0.03198532 -0.0005095 -0.11666602 0.08302362]

Result...
    [array([49.28934723]), 4, array([1.39825832, 1.20144978, 0.74600162, 0.21183404]), 1.1324274851176597e-14]

このように、hermfit()メソッドを使えば、ノイズを含むデータに対してもエルミート級数による多項式近似を簡単に実行できます。full=Trueを指定した場合、戻り値には最小二乗解の残差、ランク、特異値、条件数などの診断情報が含まれ、フィットの品質を評価するのに役立ちます。