Python NumPyで係数が多次元の場合に点xにおけるルジャンドル級数を評価する方法

PythonのNumPyライブラリでは、numpy.polynomial.legendre.legval()メソッドを使用することで、指定した点xにおけるルジャンドル級数の値を評価できます。本記事では、係数配列が多次元である場合の評価方法について、具体的なコード例とともに分かりやすく解説します。

legval()メソッドのパラメータ

第1引数：x

評価を行う点を指定します。xがリストやタプルの場合はndarrayに変換され、それ以外の場合は変更されずにスカラーとして扱われます。いずれの場合も、xまたはその要素は、自身および係数cの要素との加算・乗算をサポートしている必要があります。

第2引数：c

係数の配列です。次数nの項の係数がc[n]に格納されるように並べられています。cが多次元の場合、残りのインデックスは複数の多項式を表します。特に2次元の場合、係数はcの列に格納されていると考えることができます。

第3引数：tensor

Trueの場合、係数配列の形状は右側に1が追加されて拡張されます（xの各次元につき1つずつ）。スカラーの次元数は0として扱われます。その結果、c内の係数のすべての列が、xのすべての要素に対して評価されます。Falseの場合は、評価の際にxがcの列に対してブロードキャストされます。このキーワードは、cが多次元である場合に特に有用です。デフォルト値はTrueです。

実装手順

まず、必要なライブラリをインポートします。

import numpy as np
from numpy.polynomial import legendre as L

次に、多次元の係数配列を作成します。

c = np.arange(4).reshape(2, 2)

作成した配列を表示します。

print("Our Array...\n", c)

配列の次元数を確認します。

print("\nDimensions of our Array...\n", c.ndim)

データ型を確認します。

print("\nDatatype of our Array object...\n", c.dtype)

配列の形状を確認します。

print("\nShape of our Array object...\n", c.shape)

legval()メソッドを使って、点[1, 2]におけるルジャンドル級数を評価します。

print("\nResult...\n", L.legval([1, 2], c))

完全なコード例

import numpy as np
from numpy.polynomial import legendre as L

# 多次元の係数配列を作成
c = np.arange(4).reshape(2, 2)

# 配列を表示
print("Our Array...\n", c)

# 次元数を確認
print("\nDimensions of our Array...\n", c.ndim)

# データ型を確認
print("\nDatatype of our Array object...\n", c.dtype)

# 形状を確認
print("\nShape of our Array object...\n", c.shape)

# 点xにおけるルジャンドル級数を評価
print("\nResult...\n", L.legval([1, 2], c))

出力結果

Our Array...
    [[0 1]
    [2 3]]

Dimensions of our Array...
2

Datatype of our Array object...
int64

Shape of our Array object...
(2, 2)

Result...
    [[2. 4.]
    [4. 7.]]

結果の解説

この例では、2×2の係数配列cに対して、点x = [1, 2]でルジャンドル級数を評価しています。tensor引数がデフォルトのTrueであるため、係数配列の各列が個別の多項式として扱われ、それぞれの点で評価されます。結果として得られる [[2. 4.] [4. 7.]] は、各列の多項式が各評価点で取る値を示しています。このように、多次元の係数配列を扱うことで、複数のルジャンドル多項式を一度に効率的に評価することが可能になります。