Python NumPyでチェビシェフ級数を点xで評価する方法

PythonのNumPyライブラリでは、numpy.polynomial.chebyshevモジュールに含まれるchebval()メソッドを使用することで、チェビシェフ級数を任意の点xで評価できます。この記事では、chebval()メソッドの各パラメータの意味と、実際のコード例を通じてその使い方を詳しく解説します。

chebval()メソッドのパラメータ

第1引数：x（評価する点）

xがリストまたはタプルの場合はndarrayに変換され、それ以外の場合はスカラーとして扱われます。いずれの場合も、xまたはその要素は、自身および係数cの要素との加算・乗算をサポートしている必要があります。

第2引数：c（係数の配列）

n次の項の係数がc[n]に格納されるように並べられた係数配列です。cが多次元の場合、残りのインデックスは複数の多項式を列挙します。2次元の場合、係数はcの列に格納されていると考えることができます。

第3引数：tensor（テンソル展開の有無）

Trueの場合、係数配列の形状は右側に1を追加して拡張されます。拡張される次元数はxの次元数と同じで、スカラーの次元は0として扱われます。その結果、c内のすべての係数列がxのすべての要素に対して評価されます。Falseの場合、xはcの列に対してブロードキャストされて評価されます。このキーワードは、cが多次元である場合に特に有用です。デフォルト値はTrueです。

実装手順

まず、必要なライブラリをインポートします。

import numpy as np
from numpy.polynomial import chebyshev as C

係数の配列を作成します。

c = np.array([1, 2, 3])

配列を表示します。

print("Our Array...\n",c)

配列の次元数を確認します。

print("\nDimensions of our Array...\n",c.ndim)

配列のデータ型を取得します。

print("\nDatatype of our Array object...\n",c.dtype)

配列の形状を取得します。

print("\nShape of our Array object...\n",c.shape)

chebval()メソッドを使って、チェビシェフ級数を点x=1で評価します。

print("\nResult...\n",C.chebval(1,c))

完全なコード例

import numpy as np
from numpy.polynomial import chebyshev as C

# 係数の配列を作成
c = np.array([1, 2, 3])

# 配列を表示
print("Our Array...\n",c)

# 次元数を確認
print("\nDimensions of our Array...\n",c.ndim)

# データ型を取得
print("\nDatatype of our Array object...\n",c.dtype)

# 形状を取得
print("\nShape of our Array object...\n",c.shape)

# チェビシェフ級数を点x=1で評価
print("\nResult...\n",C.chebval(1,c))

実行結果

Our Array...
[1 2 3]

Dimensions of our Array...
1

Datatype of our Array object...
int64

Shape of our Array object...
(3,)

Result...
6.0

この例では、係数[1, 2, 3]からなるチェビシェフ級数を点x=1で評価した結果、6.0が得られました。チェビシェフ級数は T₀(x)=1、T₁(x)=x、T₂(x)=2x²−1 という基底多項式で構成されるため、x=1では 1×T₀(1) + 2×T₁(1) + 3×T₂(1) = 1 + 2 + 3 = 6 となり、計算結果と一致します。