Python NumPyのlaguerre.lagvander()でラゲール多項式の擬似ファンデルモンド行列を生成する方法

ラゲール多項式の擬似ファンデルモンド行列の生成方法

PythonのNumPyには、ラゲール多項式の擬似ファンデルモンド（Vandermonde）行列を生成するための便利な関数 laguerre.lagvander() が用意されています。この関数は、与えられた点の配列に対して、次数0から指定した次数までのラゲール多項式の値を計算し、それらを列として並べた行列を返します。

返される行列の形状は x.shape + (deg + 1,) となります。最後のインデックスは、対応するラゲール多項式の次数を表します。また、出力のdtypeは変換後の入力配列と同じになります。

パラメータの説明

• x：点の配列。要素に複素数が含まれる場合は complex128 に、含まれない場合は float64 に変換されます。スカラー値を渡した場合は1次元配列へ変換されます。
• deg：結果として得られる行列の次数。

実装の手順

まず、必要なライブラリをインポートします。

import numpy as np
from numpy.polynomial import laguerre as L

次に、点の配列を作成します。

x = np.array([0, 3.5, -1.4, 2.5])

作成した配列を表示します。

print("Our Array...\n", x)

配列の次元数を確認します。

print("\nDimensions of our Array...\n", x.ndim)

配列のデータ型を取得します。

print("\nDatatype of our Array object...\n", x.dtype)

配列の形状を取得します。

print("\nShape of our Array object...\n", x.shape)

laguerre.lagvander() を使って、ラゲール多項式の擬似ファンデルモンド行列を生成します。ここでは次数2を指定しています。

print("\nResult...\n", L.lagvander(x, 2))

完全なコード例

import numpy as np
from numpy.polynomial import laguerre as L

# 配列を作成
x = np.array([0, 3.5, -1.4, 2.5])

# 配列を表示
print("Our Array...\n", x)

# 次元数を確認
print("\nDimensions of our Array...\n", x.ndim)

# データ型を取得
print("\nDatatype of our Array object...\n", x.dtype)

# 形状を取得
print("\nShape of our Array object...\n", x.shape)

# laguerre.lagvander() を使ってラゲール多項式の擬似ファンデルモンド行列を生成
print("\nResult...\n", L.lagvander(x, 2))

実行結果

Our Array...
 [ 0.   3.5 -1.4  2.5]

Dimensions of our Array...
1

Datatype of our Array object...
float64

Shape of our Array object...
(4,)

Result...
 [[ 1.     1.     1.   ]
 [ 1.    -2.5    0.125]
 [ 1.     2.4    4.78 ]
 [ 1.    -1.5   -0.875]]

結果の解説

ラゲール多項式は、L₀(x) = 1、L₁(x) = 1 − x、L₂(x) = 1 − 2x + x²/2 と定義される直交多項式です。例えば x = 3.5 の場合、L₁(3.5) = 1 − 3.5 = −2.5、L₂(3.5) = 1 − 7 + 6.125 = 0.125 となり、出力結果の2行目と一致していることがわかります。

このように lagvander() を活用することで、最小二乗近似や多項式フィッティングなどに必要な設計行列を簡単に構築できます。数値計算やデータ解析の現場でぜひ活用してみてください。