Pythonでラゲール多項式の擬似ファンデルモンド行列を生成する方法

PythonのNumPyには、ラゲール多項式の擬似ファンデルモンド行列を簡単に生成できるlaguerre.lagvander()関数が用意されています。この記事では、この関数の基本的な使い方と、実際のコード例をわかりやすく解説します。

laguerre.lagvander()とは

lagvander()メソッドは、指定した点におけるラゲール多項式の値から構成される擬似ファンデルモンド行列を返します。返される行列の形状は x.shape + (deg + 1,) となり、最後のインデックスが対応するラゲール多項式の次数を表します。データ型（dtype）は、入力xの変換後の型と同じになります。

主なパラメータ

• x：サンプリング点の配列です。要素に複素数が含まれる場合は complex128、そうでない場合は float64 に変換されます。スカラー値を渡した場合は1次元配列として扱われます。
• deg：生成する行列の最大次数を指定します。

実行手順

まず、必要なライブラリをインポートします。

import numpy as np
from numpy.polynomial import laguerre as L

次に、サンプリング点の配列を作成します。

x = np.array([0, 1, -1, 2])

作成した配列を表示し、その次元数・データ型・形状を確認してみましょう。

print("Our Array...\n", x)
print("\nDimensions of our Array...\n", x.ndim)
print("\nDatatype of our Array object...\n", x.dtype)
print("\nShape of our Array object...\n", x.shape)

そして、lagvander()を使ってラゲール多項式の擬似ファンデルモンド行列を生成します。ここでは次数2を指定しています。

print("\nResult...\n", L.lagvander(x, 2))

完全なコード例

import numpy as np
from numpy.polynomial import laguerre as L

# 配列を作成
x = np.array([0, 1, -1, 2])

# 配列を表示
print("Our Array...\n", x)

# 次元数を確認
print("\nDimensions of our Array...\n", x.ndim)

# データ型を確認
print("\nDatatype of our Array object...\n", x.dtype)

# 形状を確認
print("\nShape of our Array object...\n", x.shape)

# ラゲール多項式の擬似ファンデルモンド行列を生成
print("\nResult...\n", L.lagvander(x, 2))

実行結果

Our Array...
    [ 0 1 -1 2]

Dimensions of our Array...
1

Datatype of our Array object...
int64

Shape of our Array object...
(4,)

Result...
    [[ 1. 1. 1. ]
    [ 1. 0. -0.5]
    [ 1. 2. 3.5]
    [ 1. -1. -1. ]]

結果の見方

出力された行列の各行は、入力配列xの各要素に対応しています。たとえば最初の行 [1. 1. 1.] は、x=0 における次数0〜2のラゲール多項式の値を示しています。また、入力配列は整数型（int64）ですが、計算結果は浮動小数点数（float64）に変換されていることがわかります。

このように、lagvander()を使えば最小二乗近似などの多項式フィッティングに必要な設計行列を、たった一行で効率的に生成できます。