Python・NumPyでLegendre級数を多項式に変換する方法

PythonのNumPyでは、legendre.leg2poly()メソッドを使うことで、Legendre(ルジャンドル)級数を通常の多項式へ変換できます。

このメソッドは、次数の低い項から高い項へと並べられたLegendre級数の係数を格納した配列を受け取り、「標準」基底(x^0, x^1, x^2, ...)で表した等価な多項式の係数を、同じく低次から高次の順に並べた1次元配列として返します。

引数cには、低次の項から高次の項へと順序付けられたLegendre級数の係数を含む1次元配列を指定します。

Legendre級数とは

Legendre級数は、ルジャンドル多項式 P₀(x)=1、P₁(x)=x、P₂(x)=(3x²−1)/2 などを基底とする多項式の表現方法です。数値計算や近似理論で直交多項式として広く利用されており、NumPyのpolynomialパッケージを使うことで、この表現と標準的な多項式表現を相互に変換できます。

手順

まず、必要なライブラリをインポートします。

import numpy as np
from numpy.polynomial import legendre as L

numpy.array()メソッドを使って配列を作成します。

c = np.array([1, 2, 3, 4, 5])

配列を表示します。

print("Our Array...\n",c)

配列の次元数を確認します。

print("\nDimensions of our Array...\n",c.ndim)

配列オブジェクトのデータ型を取得します。

print("\nDatatype of our Array object...\n",c.dtype)

配列オブジェクトの形状を取得します。

print("\nShape of our Array object...\n",c.shape)

Legendre級数を多項式に変換するには、legendre.leg2poly()メソッドを使用します。ここでは、低次から高次へ並べられたLegendre級数の係数配列を、標準基底における等価な多項式の係数配列へと変換します。

print("\nResult (legendre to polynomial)...\n",L.leg2poly(c))

コード例

import numpy as np
from numpy.polynomial import legendre as L

# numpy.array()メソッドで配列を作成
c = np.array([1, 2, 3, 4, 5])

# 配列を表示
print("Our Array...\n",c)

# 次元数を確認
print("\nDimensions of our Array...\n",c.ndim)

# データ型を取得
print("\nDatatype of our Array object...\n",c.dtype)

# 形状を取得
print("\nShape of our Array object...\n",c.shape)

# legendre.leg2poly()メソッドでLegendre級数を多項式に変換
print("\nResult (legendre to polynomial)...\n",L.leg2poly(c))

実行結果

Our Array...
    [1 2 3 4 5]

Dimensions of our Array...
1

Datatype of our Array object...
int64

Shape of our Array object...
(5,)

Result (legendre to polynomial)...
    [  1.375   -4.    -14.25   10.     21.875]

この結果は、入力の係数 [1, 2, 3, 4, 5] が表す「1·P₀ + 2·P₁ + 3·P₂ + 4·P₃ + 5·P₄」というLegendre級数が、標準基底では「1.375 − 4x − 14.25x² + 10x³ + 21.875x⁴」という多項式に相当することを示しています。