Python NumPyのchebyshev.chebpow()でチェビシェフ級数をべき乗する方法

チェビシェフ級数をべき乗するには、PythonのNumPyが提供する numpy.polynomial.chebyshev.chebpow() メソッドを使用します。このメソッドは、引数に渡したチェビシェフ級数 c を指定したべき乗 pow で累乗し、その結果となるチェビシェフ級数を返します。

引数 c は、低次の項から高次の項へと順に並べた係数のシーケンスです。たとえば [1, 2, 3] は「T₀ + 2・T₁ + 3・T₂」というチェビシェフ級数を表します。

chebpow()メソッドのパラメータ

• c … チェビシェフ級数の係数を低次から高次の順に格納した1次元配列
• pow … 級数を累乗する指数（べき乗）
• maxpower … 許容される最大のべき乗。級数が扱いきれないサイズに膨らむのを防ぐためのもので、デフォルトは16。pow がこの値を超えるとエラーが発生します

手順

まず、必要なライブラリをインポートします。

import numpy as np
from numpy.polynomial import chebyshev as C

チェビシェフ級数の係数を持つ1次元配列を作成します。

c = np.array([1, 2, 3])

係数配列を表示します。

print("Our coefficient Array...\n", c)

配列の次元を確認します。

print("\nDimensions of our Array...\n", c.ndim)

配列のデータ型を取得します。

print("\nDatatype of our Array object...\n", c.dtype)

配列の形状を取得します。

print("\nShape of our Array object...\n", c.shape)

チェビシェフ級数をべき乗するには、chebyshev.chebpow() メソッドを使います。ここでは、級数「T₀ + 2・T₁ + 3・T₂」を3乗してみます。

print("\nResult...\n", C.chebpow(c, 3))

完全なコード例

import numpy as np
from numpy.polynomial import chebyshev as C

# チェビシェフ級数の係数の1次元配列を作成
c = np.array([1, 2, 3])

# 係数配列を表示
print("Our coefficient Array...\n", c)

# 配列の次元を確認
print("\nDimensions of our Array...\n", c.ndim)

# データ型を取得
print("\nDatatype of our Array object...\n", c.dtype)

# 配列の形状を取得
print("\nShape of our Array object...\n", c.shape)

# chebyshev.chebpow()メソッドでチェビシェフ級数をべき乗する
print("\nResult...\n", C.chebpow(c, 3))

出力結果

Our coefficient Array...
[1 2 3]

Dimensions of our Array...
1

Datatype of our Array object...
int64

Shape of our Array object...
(3,)

Result...
[29.5  57.   53.25 33.5  22.5  13.5   6.75]

結果の解説

元の級数 c = T₀ + 2・T₁ + 3・T₂ を3乗すると、最高次数が6の新しいチェビシェフ級数が得られます。具体的には次の式になります。

(T₀ + 2・T₁ + 3・T₂)³ = 29.5・T₀ + 57・T₁ + 53.25・T₂ + 33.5・T₃ + 22.5・T₄ + 13.5・T₅ + 6.75・T₆

検算として x = 1 を代入すると、すべてのチェビシェフ多項式で T_n(1) = 1 となるため、係数の総和は 216 となり、(1 + 2 + 3)³ = 216 と一致します。このように chebpow() を使えば、チェビシェフ基底のまま数値誤差なくべき乗計算を行うことができます。