PythonとNumPyでルジャンドル多項式の疑似ファンデルモンド行列を生成する方法（x、y、zサンプル点）

PythonのNumPyを使用して、x、y、zのサンプル点からルジャンドル多項式の疑似ファンデルモンド行列を生成するには、numpy.polynomial.legendre.legvander3d() メソッドを使用します。このメソッドは、指定された次数 deg とサンプル点 (x, y, z) に対応する疑似ファンデルモンド行列を返します。

ファンデルモンド行列は、多項式の最小二乗近似やデータ fitting などでよく使われる行列です。3次元の場合、各サンプル点に対して、x、y、zそれぞれのルジャンドル多項式の値の組み合わせが行として配置されます。

legvander3d() メソッドのパラメータ

x, y, z： 点座標の配列です。すべて同じ形状である必要があります。dtypeは、要素に複素数が含まれるかどうかに応じて float64 または complex128 に変換されます。スカラー値は1次元配列に変換されます。

deg： 最大次数のリストで、[x_deg, y_deg, z_deg] の形式で指定します。例えば [2, 3, 4] を指定すると、x方向に2次、y方向に3次、z方向に4次までのルジャンドル多項式が考慮されます。

実行手順

1. 必要なライブラリをインポートする

まず、必要なライブラリをインポートします。

import numpy as np
from numpy.polynomial import legendre as L

2. 点座標の配列を作成する

numpy.array() メソッドを使って、すべて同じ形状の点座標配列を作成します。

x = np.array([1.5, 2.3])
y = np.array([3.7, 4.4])
z = np.array([5.3, 6.6])

3. 配列を表示する

print("配列1...\n", x)
print("\n配列2...\n", y)
print("\n配列3...\n", z)

4. データ型を確認する

print("\n配列1のデータ型...\n", x.dtype)
print("\n配列2のデータ型...\n", y.dtype)
print("\n配列3のデータ型...\n", z.dtype)

5. 次元数を確認する

print("\n配列1の次元数...\n", x.ndim)
print("\n配列2の次元数...\n", y.ndim)
print("\n配列3の次元数...\n", z.ndim)

6. 形状を確認する

print("\n配列1の形状...\n", x.shape)
print("\n配列2の形状...\n", y.shape)
print("\n配列3の形状...\n", z.shape)

7. 疑似ファンデルモンド行列を生成する

legendre.legvander3d() メソッドを使って、x、y、zのサンプル点からルジャンドル多項式の疑似ファンデルモンド行列を生成します。

x_deg, y_deg, z_deg = 2, 3, 4
print("\n結果...\n", L.legvander3d(x, y, z, [x_deg, y_deg, z_deg]))

完全なコード例

import numpy as np
from numpy.polynomial import legendre as L

# numpy.array() メソッドを使って、すべて同じ形状の点座標配列を作成
x = np.array([1.5, 2.3])
y = np.array([3.7, 4.4])
z = np.array([5.3, 6.6])

# 配列を表示
print("配列1...\n", x)
print("\n配列2...\n", y)
print("\n配列3...\n", z)

# データ型を表示
print("\n配列1のデータ型...\n", x.dtype)
print("\n配列2のデータ型...\n", y.dtype)
print("\n配列3のデータ型...\n", z.dtype)

# 次元数を確認
print("\n配列1の次元数...\n", x.ndim)
print("\n配列2の次元数...\n", y.ndim)
print("\n配列3の次元数...\n", z.ndim)

# 形状を確認
print("\n配列1の形状...\n", x.shape)
print("\n配列2の形状...\n", y.shape)
print("\n配列3の形状...\n", z.shape)

# legendre.legvander3d() メソッドで疑似ファンデルモンド行列を生成
x_deg, y_deg, z_deg = 2, 3, 4
print("\n結果...\n", L.legvander3d(x, y, z, [x_deg, y_deg, z_deg]))

出力結果

配列1...
    [1.5 2.3]

配列2...
[3.7 4.4]

配列3...
[5.3 6.6]

配列1のデータ型...
float64

配列2のデータ型...
float64

配列3のデータ型...
float64

配列1の次元数...
1

配列2の次元数...
1

配列3の次元数...
1

配列1の形状...
(2,)

配列2の形状...
(2,)

配列3の形状...
(2,)

結果...
   [[1.00000000e+00 5.30000000e+00 4.16350000e+01 3.64242500e+02
     3.34712294e+03 3.70000000e+00 1.96100000e+01 1.54049500e+02
     1.34769725e+03 1.23843549e+04 2.00350000e+01 1.06185500e+02
     8.34157225e+02 7.29759849e+03 6.70596081e+04 1.21082500e+02
     6.41737250e+02 5.04126989e+03 4.41033925e+04 4.05278013e+05
     1.50000000e+00 7.95000000e+00 6.24525000e+01 5.46363750e+02
     5.02068441e+03 5.55000000e+00 2.94150000e+01 2.31074250e+02
     2.02154588e+03 1.85765323e+04 3.00525000e+01 1.59278250e+02
     1.25123584e+03 1.09463977e+04 1.00589412e+05 1.81623750e+02
     9.62605875e+02 7.56190483e+03 6.61550888e+04 6.07917020e+05
     2.87500000e+00 1.52375000e+01 1.19700625e+02 1.04719719e+03
     9.62297845e+03 1.06375000e+01 5.63787500e+01 4.42892313e+02
     3.87462959e+03 3.56050202e+04 5.76006250e+01 3.05283313e+02
     2.39820202e+03 2.09805957e+04 1.92796373e+05 3.48112188e+02
     1.84499459e+03 1.44936509e+04 1.26797253e+05 1.16517429e+06]
    [1.00000000e+00 6.60000000e+00 6.48400000e+01 7.08840000e+02
     8.13847200e+03 4.40000000e+00 2.90400000e+01 2.85296000e+02
     3.11889600e+03 3.58092768e+04 2.85400000e+01 1.88364000e+02
     1.85053360e+03 2.02302936e+04 2.32271991e+05 2.06360000e+02
     1.36197600e+03 1.33803824e+04 1.46276222e+05 1.67945508e+06
     2.30000000e+00 1.51800000e+01 1.49132000e+02 1.63033200e+03
     1.87184856e+04 1.01200000e+01 6.67920000e+01 6.56180800e+02
     7.17346080e+03 8.23613366e+04 6.56420000e+01 4.33237200e+02
     4.25622728e+03 4.65296753e+04 5.34225579e+05 4.74628000e+02
     3.13254480e+03 3.07748795e+04 3.36435312e+05 3.86274669e+06
     7.43500000e+00 4.90710000e+01 4.82085400e+02 5.27022540e+03
     6.05095393e+04 3.27140000e+01 2.15912400e+02 2.12117576e+03
     2.31889918e+04 2.66241973e+05 2.12194900e+02 1.40048634e+03
     1.37587173e+04 1.50412233e+05 1.72694225e+06 1.53428660e+03
     1.01262916e+04 9.94831431e+04 1.08756371e+06 1.24867485e+07]]

まとめ

このように、NumPyの legendre.legvander3d() メソッドを使えば、3次元のサンプル点から簡単にルジャンドル多項式の疑似ファンデルモンド行列を生成できます。次数 [x_deg, y_deg, z_deg] を指定することで、各軸方向に異なる最大次数を設定でき、得られた行列は3変数多項式による最小二乗近似などの計算に活用できます。なお、出力される行列の列数は (x_deg + 1) × (y_deg + 1) × (z_deg + 1) となり、行数はサンプル点の数と一致します。