正方形内に内接する最大のルーロー三角形の面積を求める方法

この記事では、正方形の中に描ける最大のルーロー三角形（Reuleaux Triangle）の面積の求め方を解説します。正方形の一辺の長さを a、ルーロー三角形の高さを h とします。

ルーロー三角形とは

ルーロー三角形は、正三角形の各頂点を中心として、対向する頂点までの距離を半径とする円弧を3本描くことで得られる曲線三角形です。どの方向から測っても幅が一定となる「等幅図形」の代表例として知られており、機械部品やペン型ドリルなどにも応用されています。

面積の導出

正方形内に収まる最大のルーロー三角形を考えるとき、その高さ h は正方形の一辺 a と一致します。つまり、a = h が成り立ちます。

したがって、ルーロー三角形の面積は次の公式で計算できます。

面積 = ((π − √3) × a²) / 2

C++による実装例

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
float areaReuleaux(float a) { // 正方形の一辺は a
    if (a < 0) // a が負の場合は無効な入力として扱う
        return -1;
    float area = ((3.1415 - sqrt(3)) * (a) * (a)) / 2;
    return area;
}
int main() {
    float side = 8;
    cout << "Area of Reuleaux Triangle: " << areaReuleaux(side);
}

実行結果

Area of Reuleaux Triangle: 45.1024

計算の検証

一辺 a = 8 の場合、公式に代入すると次のようになります。

((π − √3) × 8²) / 2 ≈ ((3.1415 − 1.7321) × 64) / 2 ≈ 45.1024

このように、正方形の一辺の長さが分かれば、簡単な公式だけで最大のルーロー三角形の面積を求めることができます。