正三角形に内接できる最大の正方形の面積を求める方法【公式の導出とC++実装】

正三角形に内接できる最大の正方形とは？

本記事では、一辺の長さが a の正三角形の中に描ける最大の正方形について解説します。正方形の一辺の長さを x とし、その面積を幾何学的な関係から求めていきます。

一辺 x を求める式の導出

一辺 a の正三角形の高さは、三平方の定理より (√3/2)a となります。

底辺の上に置かれた正方形の上方には、元の三角形と相似な小さな正三角形が現れます。この小さな三角形の一辺は正方形の一辺 x に等しいため、「全体の高さ ＝ 正方形の高さ ＋ 小さな正三角形の高さ」という関係から次の式が成り立ちます。

(√3/2)a = x + (√3/2)x = x(1 + √3/2)

これを x について解くと、内接できる最大の正方形の一辺は次のようになります。

x = a / (1 + 2/√3)

したがって、求める正方形の面積は x² = [a / (1 + 2/√3)]² で表されます。

C++ での実装例

以下は、三角形の一辺 a を入力として受け取り、内接する最大の正方形の一辺と面積を計算する C++ プログラムです。負の値が渡された場合は無効な入力として −1 を返します。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

// a は三角形の一辺。最大の正方形の一辺を返す
float sideOfSquare(float a) {
    if (a < 0) // 負の値は無効
        return -1;
    return a / (1 + 2/sqrt(3));
}

int main() {
    float a = 7;
    float side = sideOfSquare(a);
    cout << "正方形の一辺: " << side << endl;
    cout << "正方形の面積: " << side * side;
    return 0;
}

実行結果

正方形の一辺: 3.24871
正方形の面積: 10.5541

まとめ

一辺 a の正三角形に内接できる最大の正方形の一辺は x = a / (1 + 2/√3) で与えられます。たとえば a = 7 の場合、一辺は約 3.249、面積は約 10.554 となります。相似な図形の高さの関係を立てるだけで公式が導けるので、ぜひ覚えておきましょう。