C++で楕円に内接する最大の正方形の面積を求める方法

この記事では、楕円に内接できる最大の正方形の面積を求める方法について解説します。楕円の中に正方形を内接させたときの位置関係は、下の図のようになります。

まず、長半径 a・短半径 b をもつ楕円の方程式は次のとおりです。

x² / a² + y² / b² = 1

ここで、内接する正方形の頂点の座標を (±x, ±y) とおきます。図形が正方形になるためには x と y が等しくなる必要があるため、x = y を上記の楕円の方程式に代入します。

これを整理すると、楕円に内接する最大の正方形の面積は、次の式で求められることになります。

面積 = 4 × (a² + b²) ÷ (a² × b²)

C++による実装例

以下のプログラムでは、楕円の長半径 a と短半径 b を引数として受け取り、上記の式に基づいて内接する最大の正方形の面積を計算しています。なお、a または b に負の値が渡された場合は、入力が無効であるものとして -1 を返すようになっています。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

float area(float a, float b) {
    // 値が負の場合は入力が無効
    if (a < 0 || b < 0)
        return -1;
    float area = (4 * (a * a + b * b)) / (a * a * b * b);
    return area;
}

int main() {
    float a = 4, b = 2;
    cout << "Area : " << area(a, b);
}

実行結果

Area : 1.25

まとめ

このように、楕円の方程式に対して x = y という条件を代入して解くことで、内接する最大の正方形の大きさを簡単な式で表すことができます。処理は四則演算のみで構成されており、計算量は O(1)。どんなサイズの楕円でも即座に面積を求められる、非常に効率的なアプローチです。