C++で正N角形に内接する最大の円の面積を求める方法

正N角形に内接する円の面積とは

本記事では、正N角形に内接する最大の円（内接円）の面積を求める方法を解説します。条件として、多角形の辺の数Nと、各辺の長さaが与えられているものとします。

考え方：多角形を三角形に分割する

アプローチは非常にシンプルです。正N角形は、中心と各頂点を結ぶことで、N個の同一の二等辺三角形に分割できます。このとき、各三角形が中心でなす角（中心角）は360/N度となります。

この中心角の半分に着目すると、内接円の半径rは次の式で求められます。

r = a / (2 × tan(π/N))

半径rが求まれば、円の面積は以下の公式で簡単に計算できます。

面積 = π × r²

サンプルコード

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

float area(float n, float a) {
    if (n < 0 || a < 0) // 値が負の場合は無効
        return -1;
    float r = a / (2.0 * tan((180 / n) * 3.14159 / 180));
    float area = 3.14159 * r * r;
    return area;
}

int main() {
    float n = 8, a = 4;
    cout << "Area : " << area(n, a);
}

このコードでは、まず入力値の妥当性をチェックしています。辺の数nまたは辺の長さaが負の値の場合は、無効な入力として-1を返します。次に、上記の公式に基づいて内接円の半径を計算し、その半径から円の面積を求めています。

サンプルでは、8角形（正八角形）で各辺の長さが4の場合を計算しています。

実行結果

Area : 73.2422

このように、正N角形の幾何学的な性質を利用することで、内接円の面積を効率的に求めることができます。同じ手法は、任意の辺数の正多角形にそのまま適用可能です。